利用定積分證明數列和型不等式
湖北省陽新縣高階中學鄒生書
我們把形如(為常數)或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見於高中數學競賽和高考壓軸題中，由於證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.
一、(為常數)型
例1(2023年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)已知正整數，求證.
分析這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎麼來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中「分割求和」這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.
證明建構函式並作圖象如圖1所示.因函式在上是凹函式，由函式圖象可知，在區間上的個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，
圖1即，
因為，所以.
所以.例2求證.
證明建構函式，又，
而函式在上是凹函式，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，
圖2即，
所以.例3證明。
證明建構函式，因，又其函式是凹函式，由圖3可知，在區間上個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，圖3即
.所以.
二、型例4若，求證:.
證明不等式鏈的左邊是通項為的數列的前項之和，右邊通項為的數列的前項之和，中間的可當作是某數列的前項之和.故只要證當時這三個數列的通項不等式成立即可.
建構函式，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函式值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，
故不等式成立，從而所證不等式成立.
圖4例5（2023年高考湖北卷理科第21題）已知函式的圖象在點處的切線方程為.
（ⅰ）用表示出；
（ⅱ）若在內恆成立，求的取值範圍；
（ⅲ）證明:.
本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.
證明（ⅲ）不等式左邊是通項為的數列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為的數列的前項之和，則當時，，此式適合，故只要證當時，即，
也就是要證.
由此建構函式，並作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大於曲邊梯形的面積，即.
圖5而，所以，
故原不等式成立.
點評本解法另闢蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過建構函式利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由於數形結合解法直觀便於操作.積分法是在新課標下證明不等式的乙個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類複雜問題的關鍵是要善於聯想善於分析問題和轉化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，精彩的解法不是空穴來風而是理性思維的必然結果.
作者簡介：鄒生書，男，2023年12月出生，湖北陽新縣人.現任教於陽新縣高階中學，中學數學高階教師，黃石市骨幹教師.
近四年來在《數學通訊》、《數學通報》、《中學數學教學參考》、《中學數學教學》、《中學數學月刊》、《中學數學》、《中學教研》、《中學數學研究》、《中小學數學》、《高中數學教與學》、《中學生數學》、《河北理科教學研究》、《數理天地》、《數理化解題研究》等近二十種期刊上發表教學教研文章百餘篇，在人教網中學數學欄目發表文章二十多篇.
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