利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見於高中數學競賽和高考壓軸題中，由於證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.

一、(為常數)型

例1(2023年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)已知正整數，求證.

分析這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎麼來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中「分割求和」這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.

證明建構函式並作圖象如圖1所示.因函式在上是凹函式，由函式圖象可知，在區間上的個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，

圖1即，

因為，所以.

所以.例2求證.

證明建構函式，又，

而函式在上是凹函式，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，

圖2即，

所以.例3證明。

證明建構函式，因，又其函式是凹函式，由圖3可知，在區間上個矩形的面積之和小於曲邊梯形的面積，圖3即

.所以.

二、型例4若，求證:.

證明不等式鏈的左邊是通項為的數列的前項之和，右邊通項為的數列的前項之和，中間的可當作是某數列的前項之和.故只要證當時這三個數列的通項不等式成立即可.

建構函式，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函式值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，

故不等式成立，從而所證不等式成立.

圖4例5（2023年高考湖北卷理科第21題）已知函式的圖象在點處的切線方程為.

（ⅰ）用表示出；

（ⅱ）若在內恆成立，求的取值範圍；

（ⅲ）證明:.

本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.

證明（ⅲ）不等式左邊是通項為的數列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為的數列的前項之和，則當時，，此式適合，故只要證當時，即，

也就是要證.

由此建構函式，並作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大於曲邊梯形的面積，即.

圖5而，所以，

故原不等式成立.