2023年福建省高一數學競賽試題
考試時間 5月13日上午8:30-11：00
一、選擇題（共36分）
1．已知集合，則（ ）
a. b. c. d.
2．已知直線與函式的影象交於兩點，與函式的影象交於兩點，則直線與（ ）
a. 相交，且交點在第一象限 b. 相交，且交點在第二象限
c. 相交，且交點在第四象限 d. 相交，且交點在座標原點
3．已知集合，如果存在實數，使得對任意正數，都存在，使得，則稱為集合a的「聚點」，給出下列四個集合：。其中以0為「聚點」的集合有（ ）
a. b. c. d.
4．已知四面體四個頂點的座標分別為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
abcd.
5．已知是兩個不相等的正數，且滿足條件，則的最大值為（ ）（符號表示不超過的最大整數）
abcd.
6．函式的最大值為（ ）
abcd.
二、填空題（共36分）
7．已知過點的直線交軸正半軸於點，交直線於點，且，則直線在軸上的截距為
8．若關於的不等式在區間上有解，則的最大值為
9．在三稜錐中，已知，則三稜錐外接球的表面積為
10．三個半徑都是的圓，其圓心分別為，直線斜率為，且過點。若位於直線某一側的部分的面積和等於位於直線另一側的部分的面積和。則
11．已知函式，則方程在區間內所有實根的和為
12．符號表示不超過的最大整數，符號表示的小數部分，即。若實數滿足，則的最小值為
三、解答題（共78分，第13,14,15,16每題16分，第17題14分）
13．已知在區間上的最小值為。
（1）求的表示式； （2）當時，求在區間上的最大值。
14．已知圓，點
（1）若，且直線被圓截得的弦長為，求的值；
（2）若為正整數，且圓上任意一點到點的距離與到點的距離之比為定值，求的值。
15．對任意的正整數，以及任意個互不相同的正整數，若不等式恆成立，求整數的最小值。
16．如圖，為圓的兩條切線，為切點，為圓的割線，為割線與圓的交點。過作直線交於點，交於點，且。
求證： //
17．在直角座標平面內有個點，記這個點組成的點集為，已知點集中任何兩點的連線與座標軸既不平行也不重合。
證明：在點集中，存在兩點，使得以為對角線，且邊與座標軸平行或重合的矩形內（不包含邊界）至少含有點集中的個點。
2023年福建省高一數學競賽試題
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