2023年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數學（文史類）
第ⅰ卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的。
1.設集合，集合，則
（a） （b） （c） （d）
【答案】a
【解析】∵，，，選a.
2.設向量與向量共線，則實數
(abcd)
【答案】b
【解析】由共線向量，的座標運算可知，
即，選b.
3.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是
（a)抽籤法b）系統抽樣法
（c）分層抽樣法d）隨機數法
【答案】c
【解析】因為是為了解各年級之間的學生視力是否存在顯著差異，所以選擇分層抽樣法。
4.設，為正實數，則「」是「」的
(a)充要條件b)充分不必要條件
(c)必要不充分條件d)既不充分也不必要條件
【答案】a
【解析】由已知當時，∴，「」是「」的充分條件。反過來由，可得，∴「」是「」的必要條件，綜上，「」是「」的充要條件，選a.
5.下列函式中，最小正週期為的奇函式是
ab.cd.
【解析】
a. ,可知其滿足題意;
b. ,可知其最小正週期為，偶函式;
c. ,最小正週期為，非奇非偶函式;
d. ,可知其最小正週期為，非奇非偶函式.選a
6.執行如圖所示的程式框圖，輸出s的值是
(abcd)
【解析】易得當k=1,2,3,4時執行的是否，當k=5時就執行是的步驟，
所以，選d.
7.過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線於a，b兩點，則
（abc）6d）
【答案】d
【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點，則直線與兩條漸近線的交點分別為，，∴,選d.
8. 某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：
）滿足函式關係（ 為自然對數的底數，k，b為常數）。若該食品在的保鮮時間是192小時，在23的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是
(a)16小時b)20小時c)24小時d)21小時
【答案】c
【解析】
，，∴，
∴當時，，∴,選c.
9. 設實數滿足，則的最大值為
(abc) 12d)14
【答案】a
【解析】由第乙個條件得：。於是，，當且僅當時取到最大值。經驗證，在可行域內，選.
10.設直線與拋物線相交於a，b兩點，與圓相切於點m，且m為線段ab的中點.若這樣的直線恰有4條，則的取值範圍是
（abcd）
【答案】d
【解析】
設，，，則
兩式相減，得：，當直線的斜率不存在時，顯然符合條件的直線有兩條。當直線的斜率存在時，可得：，又∵
，∴，∴
由於m在拋物線的內部，∴，
∴，∴，
因此，，選d.
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
注意事項：必須使用0.5公釐黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目說只是的區域內作答。作圖可先用鉛筆繪出，確認後再用0.5公釐黑色墨跡簽字筆描清楚。答在試卷、草稿紙上無效。
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
11. 設是虛數單位，則複數
【答案】
【解析】由題意可知：
12. 的值是
【答案】
【解析】
13. .已知，則的值是
【答案】-1
【解析】由已知得，，
∴14. 三稜柱中，，其正檢視和側檢視都是邊長為1的正方形，俯檢視是直角邊長為1的等腰直角三角形，設點m,n,p分別是，，的中點，則三稜錐的體積是_______.
【答案】
【解析】採用等積法，
15.已知函式， (其中)。對於不相等的實數，，設，，現有如下命題：
(1) 對於任意不相等的實數，，都有；
(2) 對於任意的及任意不相等的實數，，都有；
(3) 對於任意的，存在不相等的實數，，使得；
(4) 對於任意的，存在不相等的實數，，使得。
其中的真命題有寫出所有真命題的序號）。
【答案】(1) (4)
【解析】
(1)設，,∵函式是增函式，∴，， 則=>0,所以正確；
(2)設，則，∴
不妨我們設，則，矛盾，所以(2)錯。
(3)∵，由(1)(2)可得：，化簡得到，
，也即，令，即對於任意的函式在定義域範圍內存在有兩個不相等的實數根，。則，顯然當時，恆成立，即單調遞增，最多與x軸有乙個交點，不滿足題意，所以錯誤。
(4)同理可得，設，即對於任意的函式在定義域範圍內存在有兩個不相等的實數根，，從而不是恒為單調函式。，恆成立，∴單調遞增，又∵時，，時，。所以為先減後增的函式，滿足要求，所以正確。
三、簡答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.（本小題滿分12分）
設數列的前項和，且，，成等差數列。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）記數列的前項和，求。
【解答】：
（ⅰ）當時有，
則 ， （） ，∴數列是以為首項，2為公比的等比數列。
又由題意得，，∴ ，∴
（ⅱ）由題意得，∴
17.（本小題滿分12分）
乙個小客車有5個座位，其座位號為，乘客的座位號為，他們按照座位號順序先後上車，乘客因身體原因沒有坐自己號座位，這時司機要求餘下的乘客按以下規則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩餘空位中選擇座位.
（i）若乘客坐到了3號座位，其他乘客按規則就座，則此時共有4種坐法。下表給出其中兩種坐法，請填入餘下兩種坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）
（ii）若乘客坐到了2號座位，其，他乘客按規則就坐，求乘客坐到5號座位的概率。
【解答】
（ⅰ）當乘客坐在3號位置上，此時的位置沒有被佔，只能坐在2位置，位置被佔，可選剩下的任何，即可選1、4、5:①當選1位置，位置沒被佔，只能選4位置，選剩下的，只有一種情況；②當選4位置，可選5位置也可選1位置，選剩下的，有兩種情況；③當選5位置，只可選4位置選剩下的，有一種情況；
（ⅱ）這個問情況比較複雜，需要列表解答，當坐2位置時，位置被佔，可選剩下的座位，下表列出了所有可能
綜上，共有8種情況，坐在5位置上的情況有4種，所求概率為
18.（本小題滿分分）
乙個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示。
（）請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）；
（）判斷平面與平面的位置關係，並證明你的結論；
（）證明：平面
。【解答】
（）如答圖1所示
答圖1答圖2答圖3
（）如答圖2所示，連線，易得四邊形和四邊形為，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面
（）如答圖3所示，易得，∴平面,
得∵平面，∴，同理可得，，又，
∴平面。
19.（本小題滿分12分）
已知為的內角，是關於的方程的兩實根.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若，求的值.
【解答】
（ⅰ）是關於的方程的兩個根可得：，，所以，則，由三角形內角和為可知，.
（ⅱ）在中，由正弦定理可得，求得，則.又，由三角形內角和為及誘導公式可知，解得，將代入，解得.
20.（本小題滿分13分）
如圖，橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。
（ⅰ）球橢圓的方程；
（ⅱ）設為座標原點，過點的動直線與橢圓交於兩點。是否存在常數，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。
【解答】
（ⅰ）由知，，解得，
又∵由離心率是得到 ；
∴橢圓e的方程為：。
(ⅱ)當直線ab的斜率存在時，設ab的解析式為，，
聯立：，顯然，由韋達定理可知，，，
∴，這裡，與的取值無關，∴，即。
此時，當直線ab的斜率不存在時，ab就是cd，那麼∴
綜上，存在常數，使得為定值。
21.已知函式，其中，設是的導函式.
（ⅰ）討論的單調性；
（ⅱ）證明：存在，使得恆成立，且在區間(1，)內有唯一解。
【解答】：
（ⅰ）∵，∴求導可得，
，即 ∴恆成立，∴在其定義域上單調遞增。
（ⅱ）∵，∴由(ⅰ)可知在(1，)內單調遞增。
又時，，
當時，顯然。而在(1，)是單調遞增的，因此在
(1，)內必定存在唯一的使得
∴當時，，當時，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴。
由已知條件在區間內有唯一解，∴必有。
即由①式得到帶入②式化簡得：，即，
令，，恆成立，∴為減函式，
∵，∴在內有零點，即時，有解，此時為增函式，且，
即。∴存在，使得恆成立，且在區間(1，)內有唯一解。
by：kingslee qmjy 傑少
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