同步檢測訓練
一、選擇題
1．(2009·陝西師大附中二模)在圓x2＋y2＝5x內，過點有n條弦的長度成等差數列，最小弦長為數列的首項a1，最長的弦為an，其中公差d∈，那麼n的集合是( )
a．c． d．
答案：d
解析：圓x2＋y2＝5x的圓心為，半徑，過點有n條弦的長度成等差數列，最小弦長為數列的首項a1，它等於與過的直徑垂直的弦的長度，則a1＝2＝4，最長的弦長為an，它的長度為直徑，則an＝5，d＝＝，又公差d∈，則≤≤，4≤n≤7，n的集合是，故選d.
2．(2009·廣東重點中學)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關於直線2ax－by＋2＝0(a，b∈r)對稱，則ab的取值範圍是( )
a. b.
c. d.
答案：a
解析：圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關於直線2ax－by＋2＝0(a，b∈r)對稱，則圓心在直線上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值範圍是，故選a.
3．(2009·廣西柳州三模)曲線c： (θ為引數)與直線x＋y＋a＝0有公共點，那麼實數a的取值範圍是( )
a．(1,2) b．[0,1＋]
c．[1－，1＋] d．[－1，＋1]
答案：c
解析：曲線c：即x2＋(y＋1)2＝1與直線x＋y＋a＝0有公共點，則圓心到直線的距離≤1，那麼實數a的取值範圍是[1－，1＋]，故選c.
4．(2009·石家莊一模)過圓x2＋y2＝1上一點p作切線與x軸，y軸的正半軸交於a、b兩點，則|ab|的最小值為( )
a．2 b．3 c. d.
答案：a
解析：設切線方程為＋＝1(a>0，b>0)，則圓心到切線的距離＝1，＋＝1，|ab|＝＝＝≥2，故選a.
5．(2009·西城4月)與直線x－y－4＝0和圓x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半徑最小的圓的方程是( )
a．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 b．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
c．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 d．(x－1)2＋(y＋1)＝4
答案：c
解析：圓x2＋y2＋2x－2y＝0的圓心為(－1,1)，半徑為，過圓心(－1,1)與直線x－y－4＝0垂直的直線方程為x＋y＝0，所求圓的圓心在此直線上，排除a、b，圓心(－1,1)到直線x－y－4＝0的距離為＝3，則所求圓的半徑為，故選c.
6．(2009·安陽)已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交於a、b兩點，且|＋|＝|－|，其中o為原點，則實數a的值為( )
a．2 b．－2
c．2或－2 d.或－
答案：c
解析：由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，·＝0，⊥，三角形aob為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為，＝，a＝±2，故選c.
7．(2009·河南實驗中學3月)若直線l：ax＋by＝1與圓c：x2＋y2＝1有兩個不同交點，則點p(a，b)與圓c的位置關係是( )
a．點在圓上 b．點在圓內
c．點在圓外 d．不能確定
答案：c
解析：直線l：ax＋by＝1與圓c：x2＋y2＝1有兩個不同交點，則<1，a2＋b2>1，點p(a，b)在圓c外部，故選c.
8．(2009·湖北荊州質檢二·8)已知直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝2交於不同的兩點a、b，o是座標原點，|＋|≥||，那麼實數m的取值範圍是( )
a．(－2，－]∪[，2) b．(－2,2)
cd．(－2，]
答案：a
解析：由|＋|≥＝|－|得|＋|2≥|－|2，·≥0,0<∠aob≤，三角形aob為等腰直角三角形或頂角為銳角的等腰三角形，圓心到直線的距離1≤d<，1≤<，那麼實數m的取值範圍是(－2，－]∪[，2)．故選a.
二、填空題
9．(2009·朝陽4月)已知動直線l平分圓c：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則直線l與圓o： (θ為引數)的位置關係是________．
答案：相交
解析：動直線l平分圓c：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圓心(2,1)在直線上，又圓o：
即x2＋y2＝9，且22＋12<9，(2,1)在圓o內，則直線l與圓o： (θ為引數)的位置關係是相交，故填相交．
10．(2008·福建)若直線3x＋4y＋m＝0與圓(θ為引數)沒有公共點，則實數m的取值範圍是________．
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
解析：把圓的引數方程化成普通方程為
(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
由已知直線與圓相離，
∴>1，
解得m<0或m>10，故填(－∞，0)∪(10，＋∞)．
11．(2008·湖南文)將圓x2＋y2＝1沿x軸正向平移1個單位後得到圓c，則圓c的方程是若過點(3,0)的直線l和圓c相切，則直線l的斜率是________．
答案：(x－1)2＋y2＝1 或－
解析：因為圓平移後半徑不變，圓心變化，所以圓心(0,0)向右平移1個單位後得到點(1,0)，即平移後的圓心c.所以圓c的方程為(x－1)2＋y2＝1.
設l的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.
則＝1，∴k＝±.
三、解答題
12．已知圓c：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圓c的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程．
解：∵切線在兩座標軸上截距的絕對值相等，
∴切線的斜率是±1或過原點．
切線不過原點時，設切線方程為y＝－x＋b或y＝x＋c，分別代入圓c的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0，
由於相切，則方程有等根，∴δ1＝0，
即[2(b－3)]2－4×2×(b2－4b＋3)＝－b2＋2b＋3＝0，
∴b＝3或－1，
δ2＝0，
即[2(c－1)]2－4×2×(c2－4c＋3)＝－c2＋6c－5＝0.
∴c＝5或1，
當切線過原點時，設切線為y＝kx，即kx－y＝0.
由＝，得k＝2±.
∴y＝(2±)x，故所求切線方程為：
x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0，y＝(2±)x.
13．已知曲線c：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)證明：不論a取何實數，曲線c必過定點；
(2)當a≠2時，證明曲線c是乙個圓，且圓心在一條直線上；
(3)若曲線c與x軸相切，求a的值．
(1)證明：曲線c的方程可變形為
(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0，
由，解得，
點(4，－2)滿足c的方程，故曲線c過定點(4，－2)．
(2)證明：原方程配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵a≠2時，5(a－2)2>0，∴c的方程表示圓心是(2a，－a)，半徑是|a－2|的圓．
設圓心座標為(x，y)，則有，
消去a得y＝－x，故圓心必在直線y＝－x上．
(3)解：由題意得|a－2|＝|a|，解得a＝.
14．已知圓c：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓c截得的弦ab，以ab為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．
解：假設存在直線l滿足題設條件，設l的方程為y＝x＋m，圓c化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心c(1，－2)，則ab中點n是兩直線x－y＋m＝0與y＋2＝－(x－1)的交點即n(－，)，以ab為直徑的圓經過原點，
∴|an|＝|on|，又cn⊥ab，|cn|＝，
∴|an|＝.
又|on|＝，
由|an|＝|on|，解得m＝－4或m＝1.
∴存在直線l，其方程為y＝x－4或y＝x＋1.
15.如右圖，圓o：x2+y2=16與x軸交於a、b兩點，l1、l2是分別過a、b點的⊙o的切線，過此圓上的另一點p(p點是圓上任一不與a、b重合的點)作此圓的切線，分別交l1、l2於c、d點，且ad、bc兩直線的交點為m.
(1)當p點運動時，求切點m的軌跡方程；
(2)判斷是否存在點q(a,0)(a>0)使得q點到軌跡上的點的最近距離為.若存在，求出所有這樣的點q；若不存在，請說明理由．
解：(1)設p(x0，y0)，m(x，y)，則x＋y＝16，切線cd為x0x＋y0y＝16.
由a(－4,0)，b(4,0)，得c(－4，)，
d(4，)．
∴直線ad：y＝(x＋4)，直線bc：y＝－(x－4)，聯立解得
代入x＋y＝16，得x2＋4y2＝16.
∵點p與a、b都不重合，∴y≠0.
故所求的軌跡方程是x2＋4y2＝16(y≠0)．
(2)存在．
假設存在滿足條件的點q(a,0)，則d＝＝ (－4則當－4dmin＝＝，解得a＝.
當a≥3時，因為－4綜上，存在這樣的點q，其座標為(，0)．
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