單元能力檢測(五)
[考查範圍：第五單元數列]
時間：120分鐘分值：150分
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設sn是等比數列的前n項和，＝，則等於( )
a. b.
c. d.
2．設sn為等差數列的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，sk＋2－sk＝24，則k＝( )
a．8 b．7 c．6 d．5
3．已知數列是各項均為正數的等比數列，a1＝3，前3項和s3＝21，則a3＋a4＋a5＝( )
a．2 b．33
c．84 d．189
4．已知函式y＝f(x)，x∈r，數列的通項公式是an＝f(n)，n∈n*，那麼「函式y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增」是「數列是遞增數列」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
5．在等比數列中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，則＝( )
a．3 b.
c．3或 d．－3或－
6．等差數列的前n項和為sn，若a3＋a7－a10＝5，a11－a4＝7，則s13等於( )
a．152 b．154
c．156 d．158
7．已知數列中，a1＝b(b>1)，an＋1＝－(n∈n*)，能使an＝b的n可以等於( )
a．14 b．15
c．16 d．17
8．數列的前n項和為sn，若sn＝2an－1(n∈n*)，則tn＝＋＋…＋的結果可化為( )
a．1－
b．1－
c.d. 9．設等差數列的前n項和為sn，若s15>0，s16<0，則，，…，中最大的是( )
a.b. c.
d. 10．已知正項等比數列滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an，使得＝4a1，則＋的最小值為( )
a. b.
c. d.
二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分．把答案填在答題卡相應位置)
11．已知數列的前n項和sn滿足：sn＋sm＝sn＋m，且a1＝1，那麼a10
12．已知數列滿足a1＝2，an＋1＝(n∈n*)，則數列的前100項的和為________．
13．數列中，a1＝35，an＋1－an＝2n－1(n∈n*)，則的最小值是________．
14．已知a，b，c是遞減的等差數列，若將數列中兩個數的位置對換，得到乙個等比數列，則的值為________．
15．等差數列的公差為d，關於x的不等式x2＋x＋c≥0的解集為[0,22]，則使數列的前n項和sn最大的正整數n的值是________．
16．對於數列(n∈n＋，an∈n＋)，若bk為a1，a2，a3，…，ak中的最大值，則稱數列為數列的「凸值數列」．如數列2,1,3,7,5的「凸值數列」為2,2,3,7,7.由此定義可知，「凸值數列」為1,3,3,9,9的所有數列的個數為________．
17．用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規律如下圖所示：
已知m個鋼珠恰好可以排成每邊n個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各乙個；且知若用這m個鋼珠去排成每邊n個鋼珠的正五邊形陣列時，就會多出9個鋼珠，則m
三、解答題(本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18．(14分)設各項為正數的等比數列的前n項和為sn，s4＝1，s8＝17.
(1)求數列的通項公式；
(2)是否存在最小正整數m，使得當n≥m時，an>恆成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．
19．(14分)某同學在暑假的勤工儉學活動中，幫助某公司推銷一種產品，每推銷1件產品可獲利潤4元，第1天他推銷了12件，之後加強了宣傳，從第2天起，每天比前一天多推銷3件．
問：(1)該同學第6天的獲利是多少元？
(2)該同學參加這次活動的時間至少要達到多少天，所獲得的總利潤才能不少於1020元？
20．(14分)已知數列是各項均不為0的等差數列，sn是其前n項和，且滿足s2n－1＝a，n∈n＋.
(1)求an；
(2)數列滿足bn＝tn為數列的前n項和，求t2n.
21.(15分)數列(n∈n*)是遞增的等比數列，且b1＋b3＝5，b1b3＝4.
(1)求數列的通項公式；
(2)若an＝log2bn＋3，求證數列是等差數列；
(3)若a＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
22．(15分)已知函式f(x)＝ax的圖象過點，且點(n∈n*)在函式f(x)＝ax的圖象上．
(1)求數列的通項公式；
(2)令bn＝an＋1－an，若數列的前n項和為sn，
求證：sn<5.
單元能力檢測(五) 參***
[解析] 設等比數列的公比為q，則由＝，得＝，
解得q3＝2，所以＝＝＝，故選b.
2．d [解析] ∵sk＋2－sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝4k＋4，∴4k＋4＝24，可得k＝5，故選d.
3．c [解析] 設等比數列的公比為q，由s3＝a1＋a2＋a3＝21，得a1(1＋q＋q2)＝21，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(捨去)，∴a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3(22＋23＋24)＝84，故選c.
4．a [解析] 若函式y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增，且an＝f(n)，則數列是遞增數列；
若數列是遞增數列，則函式y＝f(x)當x∈n*時遞增，而在[1，＋∞)上不一定遞增，故選a.
5．c [解析] ∵a5·a11＝a3·a13＝3，a3＋a13＝4，∴a3＝1，a13＝3或a3＝3，a13＝1，∴＝＝3或，故選c.
6．c [解析] 由題設a3＋a7－a10＝5，a11－a4＝7，得a3＋a11＋a7－(a10＋a4)＝12，即a7＝12，則s13＝＝＝156，故選c.
7．c [解析] ∵a1＝b(b>1)，∴a2＝－，a3＝－＝－1－，a4＝b，由此可得數列是週期為3的數列，a16＝a3×5＋1＝a1＝b，故選c.
8．c [解析] 由已知，有sn＝2an－1，sn－1＝2an－1－1(n≥2)，
兩式相減，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
∴數列是公比為2的等比數列，
又s1＝2a1－1，得a1＝1，則an＝2n－1，＝2n－1，
∴tn＝＋＋…＋＝＋3＋5＋…＋2n－1
＝＝，故選c.
9．c [解析] 由s15>0，得s15＝＝15a8>0，即a8>0，由s16<0，得s16＝＝8(a8＋a9)<0，即a9<－a8<0，∴數列是遞減數列，前8項為正，第9項起為負，則s8最大，而正項中a8最小，故選c.
10．a [解析] 設等比數列的公比為q，由a7＝a6＋2a5，得
a1q6＝a1q5＋2a1q4，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(捨去)．
由＝4a1，得＝4a1，即2m＋n－2＝24，m＋n＝6，
∴＋＝·＝＋＋
≥＋2＝＋＝，
當且僅當＝，即m＝2，n＝4時取等號，故選a.
11．1 [解析] 方法一：由sn＋sm＝sn＋m，得s1＋s9＝s10，
∴a10＝s10－s9＝s1＝a1＝1.
方法二：
∵s2＝a1＋a2＝2s1，∴a2＝1，
∵s3＝s1＋s2＝3，∴a3＝1，
∵s4＝s1＋s3＝4，∴a4＝1，
由此歸納a10＝1.
12．200 [解析] 由已知an＋1＝，得a2＝3，a3＝1，a4＝2，…，由此可知數列是週期為3的數列，其前100項的和為33×6＋2＝200.
13．10 [解析] 由已知，得a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2(n－1)－1，各式相加，得
an－a1＝1＋3＋…＋2(n－1)－1＝＝(n－1)2，
即an＝(n－1)2＋35，
∴＝n＋－2≥2－2＝10，
故當且僅當n＝，即n＝6時，有最小值，最小值是10.
14.或 [解析] 依題意，得
①或②或③
由①得a＝b＝c，與「a，b，c是遞減的等差數列」相矛盾；
由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，∴a＝－2b，c＝4b，＝；
由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，∴c＝－2b，a＝4b，＝.
15．11 [解析] 由已知，0和22是方程x2＋x＋c＝0的兩根，且d<0，解得c＝0，a1＝－d>0，該數列是遞減數列，所以令an＝a1＋(n－1)d＝d>0，得n<11.5，於是數列的前11項為正數，故所求最大的正整數n的值是11.
16．27 [解析] 若已知「凸值數列」為1,3,3,9,9，根據「凸值數列」的定義，知數列中的a3可取的值為1,2,3；a5可取的值為1,2,3,4,5,6,7,8,9，則滿足條件的數列的個數為3×9＝27，故選d.
17．126 [解析] 每邊n個鋼珠的正三角形需要鋼珠個，每邊n個鋼珠的正方形需要鋼珠n2個，根據已知＋n2＝m.
設每邊n個鋼珠的正五邊形需要鋼珠an個，根據組成規律，則an＋1＝an＋3n＋1且a1＝1，根據這個遞推式解得an＝1＋，根據已知1＋＋9＝m.所以＋n2＝10＋，解得n＝9，所以m＝＋92＝126.
18．[解答] (1)設的公比為q，由s4＝1，s8＝17，知q≠1，
所以＝1，＝17.
相除得＝17，解得q4＝16，所以q＝2或q＝－2(捨去)．
將q＝2代入＝1得a1＝，所以an＝.
(2)由an＝>，得2n－1>2011，而210<2011<211，
所以n－1≥11，即n≥12.
因此，存在最小的正整數m＝12，使得n≥m時，an>恆成立．
19．[解答] (1)記此同學第n天推銷的產品的件數為an，由題設可知，是乙個公差為3的等差數列，則
an＝12＋(n－1)×3＝3n＋9，a6＝27，
∴該同學第6天的獲利是27×4＝108(元)．
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