第二單元函式及其性質
一.選擇題
(1(2) 下列四組函式中，表示同一函式的是
ab．cd．(3) 函式的定義域為，那麼其值域為
abc． d．
(4) 設函式f(x) (x∈r)是以3為週期的奇函式, 且f(1)>1, f(2)= a, 則
a． a>2 b． a<-2c． a>1d． a<-1
(5)設f(x)為奇函式, 且在(-∞, 0)內是減函式, f(-2)= 0, 則x f(x)<0的解集為**:學科網]
a． (-1, 0)∪(2b2)∪(0, 2 )
c． (-∞, -2)∪(2d． (-2, 0)∪(0, 2 )
(6) 設函式的反函式定義域為
abcd．
(7) 下列各圖象表示的函式中，存在反函式的只能是
(8)設函式f(x)=, 當x∈[-4, 0]時, 恒有f(x)≤g(x), 則a可能取的乙個值是
a． -5b． 5cd． [**:學#科#網]
(9) 已知函式f(x)對任意x,y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,則f(-1
a． -2 b． 1 c． 0.5d． 2
(10) 已知，則下列不等式中成立的乙個是
abcd．
二.填空題
(11) 奇函式定義域是，則
(12) 若，則
(13) 函式在上的最大值與最小值之和為 .
(14)在r上為減函式，則 .
三.解答題
(15) 記函式的定義域為集合m，函式的定義域為集合n．求：
（ⅰ）集合m，n；
（ⅱ） 集合，
[**:學科網]
[**:學科網zxxk]
(16) 設是奇函式，是偶函式，並且，求
(17) 有一批材料可以建成長為的圍牆，如果用材料在一邊靠牆的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如圖），則圍成的矩形的最大面積是多少？
[**:學§科§網]
(18) 已知二次函式y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函式y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(ⅰ) 求函式f(x)的表示式；
(ⅱ) 證明:當a>3時,關於x的方程f(x)= f(a)有三個實數解.
[**參***
一選擇題:
[解析]： =
[解析]：∵=|x -1|∴a錯
∵的定義域是x1,的定義域是x>1 ∴b錯[****:z_xx_
∵的定義域是x>0 ,的定義域是x0 ∴c錯
[解析]：只需把x=0，1，2，3代入計算y就可以了
[解析]：
[解析]：
[解析]：函式的反函式定義域
就是原函式的值域
而當時原函式是是減函式，故
7. ｄ
[解析]：根據反函式的定義，存在反函式的函式x、y是一一對應的。
8. a
[解析]：排除法，
若a=5,則x=0時f(x)=5，g(x)=1, 故a錯
若a=,則x= - 4時f(x)=，g(x)=, 故c錯
若a=,則x=0時f(x)=，g(x)=1, 故d錯
[解析]：因為函式f(x)對任意x,y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y),所以即又
[解析]：
故二填空題:
11. －１
[解析]：∵是奇函式
∴定義域關於原點對稱
即 ∴
12[解析]： 1 – 23= - 5
13[解析]：函式在上是增函式，所以最大值為2，最小值為1，它們之和為3
14.[解析]：∵在r上為減函式 ∴
三解答題[**:學。科。網z。x。x。k]
(15)解：（ⅰ）
（ⅱ） .
(16)為奇函式為偶函式 [**:學科網zxxk]
從而 （17）設每個小矩形長為x，寬為y，則
(1８) (ⅰ)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.設f2(x)= (k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為a(,)，b(－,－)
由=8,得k=8,. ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.
(ⅱ) （證法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+,
即=－x2+a2+.在同一座標系內作出f2(x)= 和
f3(x)= －x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐
標軸為漸近線,且位於第
一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有乙個交點,即f(x)=f(a)有乙個負數解.又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+，當a>3時,.
f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,當a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f2(x)圖象的上方.f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數解.
（證法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的乙個解x1=a.方程x+a－=0化為ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,∴x1≠ x3.
故原方程f(x)=f(a)有三個實數解.
第二單元測試卷
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