概率是高考的重點內容之一，尤其是新增的隨機變數這部分內容.要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法.
●難點磁場
(★★★★★)如圖，用a、b、c三類不同的元件連線成兩個系統n1、n2，當元件a、b、c都正常工作時，系統n1正常工作；當元件a正常工作且元件b、c至少有乙個正常工作時，系統n2正常工作.已知元件a、b、c正常工作的概率依次為0.80,0.
90,0.90，分別求系統n1，n2正常工作的概率p1、p2.
●案例**
［例1］(★★★★★)有一容量為50的樣本，資料的分組及各組的頻率數如下：
［10，15］4 ［30，359 ［15，205 ［35，408 ［20，2510 ［40，453 ［25，3011
(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；
(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.
命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法.
知識依託：頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法.
錯解分析：解答本題時，計算容易出現失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區別.
技巧與方法：本題關鍵在於掌握三種**的區別與聯絡.
解：(1)由所給資料，計算得如下頻率分布表
(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：
［例2］(★★★★★)某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的台數ζ是乙個隨機變數，它的分布列如下：
設每售出一台電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積於倉庫，則每台每月需花保養費用100元，問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？
命題意圖：本題考查利用概率中的某些知識如期望來解決實際問題.
知識依託：期望的概念及函式的有關知識.
錯解分析：在本題中，求ey是乙個難點，稍有不慎，就將產生失誤.
技巧與方法：可借助概率分布、期望、方差等知識來解決日常生產生活中的實際問題.
解：設x為月初電器商購進的冰箱台數，只須考慮1≤x≤12的情況，設電器商每月的收益為y元，則y是隨機變數ζ的函式且y=,電器商平均每月獲益的平均數，即數學期望為：ey=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2+…+［300(x－1)－100］px－1
=300x(12－x+1) +［300×］
= (－2x2+38x)
由於x∈n,故可求出當x=9或x=10時，也即電器商月初購進9臺或10臺電冰箱時，收益最大.
●錦囊妙記
本章內容分為概率初步和隨機變數兩部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有乙個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率和獨立重複實驗.第二部分包括隨機變數、離散型隨機變數的期望與方差.
涉及的思維方法：觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化.
主要思維形式有：邏輯思維、聚合思維、形象思維和創造性思維.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為( )
2.(★★★★)已知隨機變數ζ的分布列為：p(ζ=k)=,k=1,2,3,則p(3ζ+5)等於( )
a.6b.9c.3d.4
二、填空題
3.(★★★★)1盒中有9個**和3個廢品，每次取1個產品，取出後不再放回，在取得**前已取出的廢品數ζ的期望e
4.(★★★★)某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出4人參加某項活動，這4人恰好來自不同組別的概率是
三、解答題
5.(★★★★★)甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.6，計算：
(1)兩人都擊中目標的概率；
(2)其中恰有一人擊中目標的概率；
(3)至少有一人擊中目標的概率.
6.(★★★★)已知連續型隨機變數ζ的概率密度函式f(x)=
(1)求常數a的值，並畫出ζ的概率密度曲線；
(2)求p(1＜ζ＜).
7.(★★★★★)設p在［0,5］上隨機地取值，求方程x2+px+=0有實根的概率.
8.(★★★★★)設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作.
若一周5個工作日裡均無故障，可獲利潤10萬元；發生一次故障可獲利潤5萬元，只發生兩次故障可獲利潤0萬元，發生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內期望利潤是多少？
參***
難點磁場
解：記元件a、b、c正常工作的事件分別為a、b、c，由已知條件p(a)=0.80, p(b)=0.90,p(c)=0.90.
(1)因為事件a、b、c是相互獨立的，所以，系統n1正常工作的概率p1=p(a·b·c)=p(a)p(b)p(c)=0.648,故系統n1正常工作的概率為0.648
(2)系統n2正常工作的概率p2=p(a)·［1－p()］
=p(a)·［1－p()p()］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792
故系統n2正常工作的概率為0.792
殲滅難點訓練
一、1.解析：設甲命中目標為事件a，乙命中目標為事件b，丙命中目標為事件c，則目標被擊中的事件可以表示為a+b+c，即擊中目標表示事件a、b、c中至少有乙個發生.
故目標被擊中的概率為1－p(··)=1－
答案：a
2.解析：eξ=(1+2+3)·=2，eξ2=(12+22+32)·=
∴dξ=eξ2－(eξ)2=－22=.
∴d(3ξ+5)=9eξ=6.
答案：a
二、3.解析：由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，並且有p(ξ=0)=,
答案：0.3
4.解析：因為每組人數為13，因此，每組選1人有c種方法，所以所求概率為p=.
答案：三、5.解：(1)我們把「甲射擊一次擊中目標」叫做事件a，「乙射擊一次擊中目標」叫做事件b.
顯然事件a、b相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標的概率是p(a·b) =p(a)·p(b)=0.6×0.6=0.
36答：兩人都擊中目標的概率是0.36
(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是p(a·)=p(a)·p()=0.6×
(1－0.6)=0.6×0.4=0.24
甲未擊中、乙擊中的概率是p(·b)=p()p(b)=0.24，顯然，「甲擊中、乙未擊中」和「甲未擊中、乙擊中」是不可能同時發生，即事件a·與·b互斥，所以恰有一人擊中目標的概率是p(a·)+p(·b)=0.24+0.
24=0.48
答：其中恰有一人擊中目標的概率是0.48.
(2)兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標的概率p=p(a·b)+［p(a·)+p()·b］=0.36+0.48=0.84
答：至少有一人擊中目標的概率是0.84.
6.解：(1)因為ξ所在區間上的概率總和為1，所以(1－a+2－a)·1=1,
∴a=概率密度曲線如圖：
(2)p(1＜ξ＜)=
7.解：一元二次方程有實數根δ≥0
而δ=p2－4()=p2－p－2=(p+1)(p－2)
解得p≤－1或p≥2
故所求概率為p=
8.解：以x表示一周5天內機器發生故障的天數，則x－b(5，0.2)，於是x有概率分布p(x=k)=c0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5.
以y表示一周內所獲利潤，則
y=g(x)=
y的概率分布為：
p(y=10)=p(x=0)=0.85=0.328
p(y=5)=p(x=1)=c0.2·0.84=0.410
p(y=0)=p(x=2)=c·0.22·0.83=0.205
p(y=－2)=p(x≥3)=1－p(x=0)－p(x=1)－p(x=2)=0.057
故一周內的期望利潤為：
ey=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(萬元)
高考數學難點突破 難點30概率
難點30 概率 概率是高考的重點內容之一，尤其是新增的隨機變數這部分內容.要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法.難點磁場 如圖，用a b c三類不同的元件連線成兩個系統n1 n2，當元件a b c都正常工作時，系統n1正常工作 當元件a正常工作且元件b c至少有乙個正常工...
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