力學與工程科學系00級尋波
摘要：線性切換系統是一類重要的混雜系統。切換系統一般包括一組子系統和乙個描述子系統之間如何切換的切換規則。
鎮定問題是切換系統研究的重要問題。本文研究了線性切換系統的週期鎮定問題，給出了一些充分性條件並舉例驗證有關結果。
關鍵詞：線性切換系統，週期可鎮定，混雜動態系統， 狀態反饋
1． 引言
混雜動態系統（hybrid dynamic systems）研究同時包含連續時間動態系統
和離散事件動態系統以及二者相互耦合作用的複雜系統。而切換系統是從控制科學的角度來研究混雜系統理論的重要模型。切換系統一般包括一組有限（或無限）個子系統和乙個描述子系統之間如何切換的切換規則。
每乙個子系統由乙個確定的微分方程或差分方程描述，且在某一時刻有且只有乙個子系統處於啟用狀態，具體是哪個子系統由切換規則決定。子系統之間發生切換時，系統狀態或保持不變或發生一定的跳變。
切換系統存在於許多生產實踐領域，具有廣泛的工程背景。大量的實際系統均可使用切換系統模型進行描述。目前關於切換系統的研究正在逐漸變熱，成為控制理論研究中的熱點之一[1-7]。
系統的穩定性和鎮定問題是系統研究中的最基本問題，關係到系統的本質屬性。當前關於切換系統穩定性和鎮定的研究尚未深入，能見到的結果尚很初步。本文研究線性切換系統的週期鎮定問題，並給出了若干系統週期可鎮定的充分性判據。
2． 主要結果
考慮如下的線性切換系統
1）其中是狀態向量，是輸入，函式是待設計的切換訊號，意味著子系統處於啟用狀態。
當系統（1）中不含輸入部分，即
2）則稱為自治線性切換系統。
定義1（週期可鎮定） 對系統（2），若存在週期切換訊號，使得系統在任意初值下均漸近穩定，則系統（2）稱為（全域性）週期可鎮定。
定義2（週期可鎮定狀態反饋） 對系統（1）， 若使得所得的閉環系統
3）在任意初值下均漸近穩定，則系統（1）稱為（全域性）基於狀態反饋週期可鎮定。
定理1 對系統（2），若使得為hurwitz矩陣（即矩陣所有特徵值的實部為負），則系統（2）週期可鎮定。
證明：首先選定週期切換訊號如下
當， （4）
其中，為待定常數。
定義矩陣
，對於充分小的有：
取定，則
由於矩陣的特徵值關於矩陣各個分量是連續的，所以矩陣與的特徵值僅相差乙個無窮小量，又由已知條件，是hurwitz的，所以矩陣也是hurwitz的。於是系統（2）在給定週期切換訊號（4）下的解為：
特別地，
即系統經過乙個週期後的狀態轉移矩陣為：
由於是hurwitz的，所以的特徵值的絕對值均小於1，因此系統是漸近穩定的。
至此定理證明完畢。
定理2 對系統（1），若使得線性定常系統可鎮定，則系統（1）週期可鎮定狀態反饋，且狀態反饋控制器相同，即。
證明：由系統可鎮定，則，使得是hurwitz的。取，考察閉環系統（3），根據定理1的結論可知定理2結論成立。
至此定理證明完畢。
定理3 對系統（1），若使得線性定常系統可鎮定，則系統（1）週期可鎮定狀態反饋。
證明：由系統可鎮定，即，使得是hurwitz的。即是hurwitz的。取，考察閉環系統（3），根據定理1的結論可知定理3結論成立。
至此定理證明完畢。
3． 例子
這裡舉幾個例子來驗證所得結果。
例1 考慮系統自治系統 ，
其中，。易知兩個子系統都不是hurwitz的。但是hurwitz的，由定理1，系統週期可鎮定。
事實上，取t為任意常數，則系統為：
解得所以，
易知系統是週期可鎮定的。
例2 考慮系統
其中易知各個子系統均不可鎮定。
取，可知定常系統可控，取，有
是hurwitz的。由定理2知，系統週期可鎮定狀態反饋。
事實上，令，則系統可簡化為：
則 顯然系統週期可鎮定狀態反饋。
例3，考慮系統
其中，易知各個子系統均不可鎮定。對，可知定常系統的能控性矩陣為
顯然不可控，因此不能應用定理2。但是，令
，進一步取，有
是hurwitz的。
由定理3，系統週期可鎮定狀態反饋。
事實上，令代入系統方程後可簡化為：
解得，所以，可知系統確實系統週期可鎮定狀態反饋。
例3表明定理3確實降低了定理2的保守性。
4． 結論
本文研究了線性切換系統的鎮定問題，並給出了自治線性切換系統週期可鎮定及一般線性切換系統基於狀態反饋週期可鎮定的充分性判據。通過一些數值算例驗證了有關結論的正確性。
致謝 感謝王龍教授和謝廣明講師，一年以來，他們給了我無微不至的指導和關懷。他們淵博的知識，嚴謹的治學態度，對我影響頗深。尤其是謝老師對我的多次具體的指導，使我對所研究的問題有了更加深入正確的了解。
感謝校長**使我有這樣一次特殊的經歷，它將影響到我今後的發展。
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作者簡介：
尋波，男，2023年2月出生於湖南省瀏陽市，2023年從瀏陽市第一中學考入北京大學力學與工程科學系，學習努力，專業成績優秀，參加第18界北京市大學生非物理類專業物理競賽獲得甲組特等獎，參加第14界北京市大學生非數學專業數學競賽獲得三等獎。
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