2023年第七屆湖南工學院數學建模競賽
承諾書我們仔細閱讀了第五屆湖南工學院數學建模競賽的競賽規則。
我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式（包括**、電子郵件、網上諮詢等）與本隊以外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。
我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。
我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們願意承擔由此引起的一切後果。
我們的參賽報名號為
參賽隊員 (簽名) ：
隊員1： 蔣傅禮
隊員2： 陳磊
隊員3： 張魁晉
2023年第七屆湖南工學院數學建模競賽
編號專用頁
參賽隊伍的參賽號碼：（請各個參賽隊提前填寫好）：
競賽統一編號（由競賽組委會送至評委團前編號）：
競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號）：
2023年第七屆湖南工學院數學建模競賽
題目基於微分方程的昆蟲運動軌跡模型
摘要本文建立了乙個關於昆蟲運動軌跡的微分方程模型，通過求解微分方程得到昆蟲的運動軌跡方程，由昆蟲的軌跡方程與圓盤邊界相交處（-15,0）即為昆蟲的離開點。
同時本文還運用matlab軟體對昆蟲運動軌跡和圓盤的圓周之間的影象進行了比較，更進一步對模型的結果進行了分析與檢測，並對模型進行適當的推廣。
關健字：微分方程，matlab，軌跡方程
一. 問題重述及分析
有一水平放置的直徑為30厘公尺的圓盤，正在按每分鐘四周的勻角速度旋轉，離圓盤較遠但在同一水平面上有一點光源在發光，乙隻昆蟲在距離光源最遠處的圓盤邊，頭對光源，這時它立即驚起按每秒1厘公尺的速度爬行，爬行中頭總是對著光源。試建立昆蟲運動的微分方程，並問昆蟲在圓盤邊得哪點處離開圓盤？
問題基本分析：
本問題通過建立微分關係模型來解決實際問題。建立平面直角座標系，通過對昆蟲運動軌跡的分析，昆蟲始終都是對著光源運動，當昆蟲的運動軌跡與圓盤邊緣相交時即昆蟲在此處離開圓盤，由此建立數學模型。
二．模型的基本假設與符號約定
（1）：基本假設
1.假設圓盤的中心為座標原點；
2.假設昆蟲本身的尺度大小對我們要研究的問題可以忽略，因此可以把昆蟲看成質點來對待；
3.假設圓盤的轉速始終均勻；
4.假設昆蟲的運動方向始終指向光源。
（2）：符號約定
三．模型建立與求解
選取直角座標系與極座標系，取圓盤中心為原點，昆蟲開始在（15,0）處，光源在（）處，圓盤逆時針方向旋轉，如下圖所示:
假設在時間時刻，昆蟲位於（）即（），由勻速圓周運動知識知：
角速度1）
切線方向的線速度2）
首先，線速度在水平與垂直方向上的分量為：
3）4）
由直角座標與極座標轉換公式
故昆蟲運動的速度在水平與垂直方向的分速度分別為:
5）6）
由（6）/（5）得：
7）對上式方程左右兩邊積分得：
故8）當時，有初始值：，解得有：
9）即可得昆蟲的運動是沿著圓心在（），半徑為的圓作勻速圓周運動。
四．模型的計算結果檢測及分析
本題所要求的是求昆蟲在圓盤邊哪點處離開圓盤。
由昆蟲的運動軌跡方程與圓周的方程得：
二者的方程交於（-15,0）點，由此可知昆蟲從這點離開圓盤。
由上述方程寫出matlab程式和由程式得出二者之間的軌跡影象分別如下：
r1=15
theta=linspace(pi,0,1000);%改變範圍可控制圓的那一部分被畫出來。
x=cos(theta)*r1;
y=sin(theta)*r1;
line(x,y,'color','red','linewidth',1.5);
hold
x0=0;
y0=-15/(2*pi);
r0=15*sqrt(1+1/(4*pi^2));
theta=linspace(pi,0,1000);%改變範圍可控制圓的那一部分被畫出來。
x =x0+cos(theta)*r0;
y = y0+sin(theta)*r0;
line(x,y,'color','black','linewidth',0.5);
grid
legend('圓盤的圓周','昆蟲的運動軌跡')
gtext('昆蟲的進入點')
gtext('昆蟲的離開點')
由影象可以簡單的分析,昆蟲從進入點到離開點一直都處在圓盤上，二者的運動軌跡相交於（-15,0）一點。若不考慮昆蟲在圓盤上發生滑動，昆蟲即可以從（-15,0）這點離開圓盤。
實際上，昆蟲的運動始終對著光源以的速度運動，在豎直方向總是會產生乙個向下的分量，而線速度的豎直方向的分量向上，這就保證了昆蟲在前半個週期不至於離開圓盤 。同時在水平方向會產生乙個向左的分量，而圓盤的線速度在水平方向的分量向左，當昆蟲在半個週期時最有可能離開圓盤。由此我們得出的結論與實際是相符的。
5．模型的評價與推廣
該模型在基本合理的簡化假設下，運用數學工具解決了實際問題，從提出假設，引入基本函式，到建立微分方程，從而畫出昆蟲的運動軌跡影象模型，最後進一步對模型的結果進行了檢測和分析。在整個過程中，該模型可以說是用建模方法解決實際問題的乙個範例。
實際上，昆蟲在圓盤上的運動不僅僅侷限於上述模型的情況，昆蟲在圓盤上可能會發生滑動，這就要我們不得不考慮到昆蟲的質量，與昆蟲與圓盤間的摩擦力作用。這樣我們得出的昆蟲的運動軌跡或許又會是另外一種情況，實際上這樣一種模型在實際生活中有著許多應用，如：汽車在公路轉彎處得限速問題。
我們都可以在上述模型的基礎上加以推廣。
2023年第七屆湖南工學院數學建模競賽
題目基於線性規劃的高校排課系統的研究
摘要排課是教務運作中的一項重要工作，同時排課問題也是乙個複雜的組合優化問題。排課需要考慮時間、課程、教學區域、教師院系、班級、教師等因素。本文對排課資源的約束條件和自身需求進行分析，將問題歸結為優化問題，確定了「將教師、班級、課程三個因素優化組合，並分配到不同的時間段上，形成最終的課表」的解決方案。
首先建立各因素間的關係矩陣，再根據題設要求及日常的教學規律分別建立目標函式方程與多重約束方程。其次，以0-1規劃、矩陣乘法的方法分別將教師、班級分配到課表上的不同時間段上，形成時間+班級+教師的組合。建立起了乙個系統的線性規劃模型，該模型具有直觀性、易理解性可操作性強等特點。
在此基礎上，運用lingo軟體進行計算機程式設計計算，實現資源分配的優化處理。最終，編排出乙份盡可能多地滿足班級、教師、課程的要求的課表。
關鍵字：組合優化，0-1規劃，線性規劃模型，lingo
一.問題重述
排課是教務運作中的一項重要工作，同時排課問題也是乙個複雜的組合優化問題，對此問題的建模和求解，難度都非常大。多數情況下我們只是滿足於求解問題的乙個可行解，而對此可行解的進一步優化往往通過手工完成，效率很低。目前有很多計算機專家和數學專家都致力於對大規模排課問題的研究，在此我們給出乙個規模相對較少，約束相對較少的較為簡單的排課問題，請同學們加以解決。
目前某校的計算機上機課大都安排在計算機學院，計算機學院有5個機房用於學生上機，每個機房大約容納90人。安排上機的課程共有4門，指導上機的教師共有24人，其中20人為課程的授課教師，見附件1，其他四人為機房的管理人員，依次為陸老師，章老師，張老師和彭老師，其中陸老師負責2個機房。共有123個班級需要上機，詳細名單見附件1。
教師和學生的上機時間不能和他們的授課課程時間衝突，為此我們給出了各位教師和各個班級學生的課程表，見資料夾附件2。四名管理人員可全天進行上機指導，但只能在自己負責的機房進行.
要求：（1）為了保證授課效果，學院規定每個老師在同乙個時間段只能為1個班級進行指導；而同一時段允許有兩名教師在同乙個機房分別指導乙個班級；
（2）上機指導老師盡可能指導自己授課班級的學生；
（3）週末盡可能不安排上機；其次晚上盡可能不安排上機。
（4）為了減少教師到新校區的次數，上機時間盡可能與其授課時間安排在同一天。
（5）還有其它要求可根據我校的情況，酌情給出，給出時要充分考慮教學規律、教學效果和大部分老師、學生的要求。
你要解決的問題：
（1）根據你提出的要求（可以是上述要求的某個或多個，也可以是你自己合理設定的），確定約束條件，給出目標函式，建立數學模型；
（2）設法求出滿足約束條件的乙個可行解，詳細給出你的求解步驟；
（3）根據你的目標，設計演算法，求解問題的乙個最優解或近似最優解。
二.問題分析
排課需要考慮的方面比較多，要確保教師、教室、課程、班級時間等資源部發生衝突。課表安排的主要任務是把各班級的課表彙總, 然後根據教學計畫或教學環節制訂實驗室的課表、全校各班級的課表。根據學校的實際情況和學校所面臨的問題，可以將這類題歸結為以老師的滿意情況為目標的函式的多約束的規劃問題。
為了使課表的編排準確、合理、快速、高效, 充分利用學校資源，根據已知條件提出以下可行性要求：
1、老師的優先順序：不妨按照老師的課表進行分析，分為老師在某個時間段有課、老師在某個時間段沒課，但是在這一天內有課、老師在整體都沒課（此時對於老師而言可供選擇的空間相對而言可能更大）三種情況，再分別為這三種情況賦0、1、2三種不同的權值。
簡單的線性規劃
教學目標 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可行域以及最優解等基本概念 3 了解線性規化問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 4 培養學生觀察 聯想以及作圖的能力，滲透...
簡單的線性規劃
3.3 簡單的線性規劃 導學案 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題，並體會數學知識形成過程中所蘊涵的思想和方法。重點難點 重點 利用可行域求目標函式的最值問...
簡單的線性規劃
高一數學必修5 編號 sx 05 016 3.3 簡單的線性規劃 導學案 撰稿 許紅菊審核 高一數學組時間 2012年3月20日 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的...