【教材習題及解答】
4-1 【答】所謂根軌跡，是指系統開環傳遞函式的某一參量從零變化到無窮時，閉環系統特徵方程序的根在s平面上變化而形成的軌跡。
根軌跡反映了閉環系統特徵根在s平面上的位置以及變化情況，所以應用根軌跡可以直觀地分析引數變化對系統動態效能的影響，以及要滿足系統動態要求，應如何配置系統的開環零極點，獲得期望的根軌跡走向與分布。
4-2【答】運用相角條件可以確定s平面上的點是否在根軌跡上；運用幅值條件可以確定根軌跡上的點所對應的引數值。
4-3【答】考察開環放大係數或根軌跡增益變化時得到的閉環特徵根移動軌跡稱為常規根軌跡。除開環放大係數或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系統的引數根軌跡、正反饋系統根軌跡和零度根軌跡等。
繪製引數根軌跡須通過閉環特徵方程序的等效變換，將要考察的引數變換到開環傳遞函式中開環放大係數或根軌跡增益的位置上，才可應用根軌跡繪製規則繪製引數變化時的根軌跡圖。
正反饋系統的閉環特徵方程1－g(s)h(s)=0與負反饋系統的閉環特徵方程1+g(s)h(s)=0存在乙個符號差別。因此，正反饋系統的幅值條件與負反饋系統的幅值條件一致，而正反饋系統的相角條件與負反饋系統的相角條件反向。負反饋系統的相角條件（+2k）是180°根軌跡，正反饋系統的相角條件（0+2k）是0°根軌跡。
因此，繪製正反饋系統的根軌跡時，凡是與相角有關的繪製法則，如實軸上的根軌跡，根軌跡漸近線與實軸的夾角，根軌跡出射角與入射角等，都要變+2k角度為0+2k。
4-4【答】由於開環零極點的分布直接影響閉環根軌跡的形狀和走向，所以增加開環零極點將使根軌跡的形狀和走向發生改變，從而使系統效能也隨之發生變化。
一般來說，增加合適的開環零點，可使閉環系統的根軌跡產生向左變化的趨勢，從而改善系統的穩定性和快速性。增加開環極點時，增加了根軌跡的條數，改變了根軌跡漸近線的方向，可使閉環系統的根軌跡產生向右變化的趨勢，削弱系統的穩定性和快速性。
增加開環零極點，都將改變根軌跡漸近線與實軸的交點與夾角，可能改變根軌跡在實軸上的分布。
4-5 【解】(1) 將代入系統的開環傳遞函式有：，滿足根軌跡的相角條件，故是該根軌跡上的點。
當點在根軌跡上時，有。即
於是，可得。
(2) 系統的特徵方程為，由勞斯表
易得使閉環系統穩定的k*值的範圍為-8 < k* < 90。
4-6【答案】
(abcd)
(efgh)
圖4-10 開環傳遞函式根軌跡圖
4-7 【解】(1) ，繪製步驟如下：
1) 該系統有3個開環極點，無開環零點，分別為p1＝-0.2，p2＝-0.5，p3＝-1。
2) 系統有3條根軌跡分支，均趨向於無窮遠處。
3) 實軸上(-∞,-1]和[-0.5,-0.2]區域為根軌跡。
4) 由於n-m＝3，故系統有3條根軌跡漸近線，其傾角和起點座標分別為：
5) 確定根軌跡的分離點。
根據開環傳遞函式表示式，有，，代入方程，整理得到
求解上述方程，得到
， 由於s2在根軌跡[-0.5, -0.2]上，故取分離點座標為。
6) 確定根軌跡與虛軸的交點。
由系統的開環傳遞函式，可得對應的閉環特徵方程為
將s＝jω代入上式，整理得到
分別令上式中的實部和虛部為零，即
解得ω＝±0.89，k*＝1.26。
系統的完整根軌跡如圖4-11所示。
圖4-11 題4-7(1)系統的根軌跡圖
(2) ，繪製步驟如下：
1) 該系統有2個開環極點，1個開環零點，分別為p1,2＝-1±j3，z1＝-2。
2) 系統有2條根軌跡分支，一條終止於有限開環零點z1＝-2，另一條趨向於無窮遠處。
3) 實軸上(-∞,-2]區域為根軌跡。
4) 由於n-m＝1，故系統只有1條根軌跡漸近線，其傾角和起點座標分別為：
5) 確定根軌跡的分離點或會合點。
根據開環傳遞函式表示式，有，，代入方程，整理得到
求解上述方程，得到
， 由於s1在根軌跡(-∞,-2]上，故取分離點座標為。
6) 確定根軌跡的出射角。
由零、極點分布位置及出射角計算公式，得到點p1處的出射角為
根據對稱性，點p2處的出射角為-161.57°。
系統的完整根軌跡如圖4-12所示。
圖4-12 題4-7(2)系統的根軌跡圖
(3) ，繪製步驟如下：
1) 該系統有3個開環極點，1個開環零點，分別為p1＝0，p2＝-2，p3＝-3，z1＝-5。
2) 系統有3條根軌跡分支，其中一條終止於有限開環零點z1＝-5處，另兩條則趨向於無窮遠處。
3) 實軸上[-5,-3]和[-2,0]區域為根軌跡。
4) 由於n-m＝2，故系統有2條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為：
5) 確定根軌跡的分離點。
根據開環傳遞函式表示式，有，，代入方程，整理得到
求解上述方程，得到
，， 由於s3在根軌跡[-2,0]上，故取分離點座標為。
系統的完整根軌跡如圖4-13所示。
圖4-13 題4-7(3)系統的根軌跡圖
4-8【證】設s為系統根軌跡上的一點，則根據相角條件有
然後，將s＝σ＋jω代入上式，得到
即移項，得
對上式兩邊取正切，可得
整理可得
可見，這是乙個以（-6,0）為圓心，以為半徑的圓方程。即證明該系統的複數根軌跡部分為一圓，其圓心座標為（-6,0），半徑為。
4-9【解】k*＝1時，系統的閉環特徵方程為
即則以t為參變數時的等效開環傳遞函式為
以下繪製以t為參變數時的系統根軌跡：
1) 等效開環傳遞函式有3個開環極點，無開環零點，即p1＝0，p2,3＝-1。
2) 新系統具有3條根軌跡，均終止於無窮遠處。
3) 實軸上的(-∞,-1]和[-1,0]均為根軌跡區域。
4) 新系統有3條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為和，交點為
5) 根軌跡的分離點
根據等效開環傳遞函式的表示式，有，，於是
解得s1＝-1，s2＝-1/3。顯然，分離點座標為d＝-1/3。
6) 根軌跡與虛軸的交點
以t為參變數時，系統的閉環特徵方程為
將s＝jω代入上式，並令實部和虛部分別為零，得到
求解上述方程組，得到解為
根據以上資訊，繪製的根軌跡如圖4-14所示。
圖4-14 題4-9的引數根軌跡
4-10
圖4-15 題4-10的系統結構圖
【解】系統的開環傳遞函式為
系統的閉環特徵方程為
則以τ為參變數時的等效開環傳遞函式為
以下繪製以τ為參變數時的系統根軌跡：
1) 等效開環傳遞函式有2個開環極點和1個開環零點，即p1,2＝-1±j3，z1＝0。
2) 新系統具有2條根軌跡，一條終止於z1＝0，另一條終止於無窮遠處。
3) 實軸上的(-∞,0]為根軌跡區域。
4) 新系統有2條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為和，交點為
5) 根軌跡的匯合點
根據等效開環傳遞函式的表示式，有，，於是
解得。顯然，匯合點座標為d＝-3.16。
6) 根軌跡的出射角
， 根據以上資訊，繪製的引數根軌跡如圖4-16所示。
圖4-16 題4-10的系統根軌跡
4-11【解】（1）確定滿足條件的極點容許區域。
由題意，及關係式，可得。根據，可得阻尼角。
又由，及（為極點實部），可知。
因此，極點容許區域如圖4-17中的陰影區所示。
圖4-17 極點容許區域
（2）確定根軌跡與容許區域邊界交點處的k*值。
用幅值條件不難確定實軸根軌跡與垂線s=-0.4375交點處的k*值為0.684；復平面上根軌跡與扇形區邊界交點－1±j1.046處的k*值為2.094，故滿足條件的k*值範圍為
0.684 < k* < 2.094
4-12 【解】（1）由於已知開環傳遞函式是由兩個有限極點和乙個有限零點組成的，故該系統根軌跡的複數部分為一圓，其中圓心在有限零點z1＝-6處，半徑為有限零點到分離點（會合點）的距離。
由開環傳遞函式知：，。代入方程，整理得到：。
解得s1＝-1.76，s2＝-10.24。
由圖可知，s1為分離點座標，s2為會合點座標。系統的根軌跡如圖4-18所示。
圖4-18 題4-12系統增加開環零點後的根軌跡圖
（2）根據幅值條件，可知：
分離點s1＝-1.76對應的開環根軌跡增益為
會合點s2＝-10.24對應的開環根軌跡增益為
由根軌跡圖可知，當0＜k*＜0.515時，系統有兩個相異的負實根，此時系統處於過阻尼狀態，單位階躍響應為非週期過程；當0.515＜k*＜17.
485時，系統有一對負實部的共軛復根，此時系統處於欠阻尼狀態，單位階躍響應為衰減振盪過程；當k*＞17.485時，系統又具有兩個相異的負實根，系統回到過阻尼狀態；當k*＝0.515或17.
485時，系統有兩個相等的負實根，此時系統處於臨界阻尼狀態，單位階躍響應為非週期過程，響應速度較過阻尼狀態快。
（3）過座標原點作根軌跡圓的切線，切點為a，如圖4-18所示。由關係式可知，該切線與負實軸夾角的余弦就是所要求的系統最小阻尼比，此時
相應的a點座標為-3+3j。根據對稱性，系統最小阻尼比所對應的閉環極點為-3±3j。
由幅值條件易知，a點處的開環根軌跡增益為
因此，系統的閉環傳遞函式為
單位階躍輸入時，有，因此，系統階躍響應的拉氏變換為
對上式求拉氏反變換，得到
圖4-19為該系統的單位階躍響應曲線。由圖可見，在系統最小阻尼比時，系統的單位階躍響應具有較好的平穩性和快速性。
圖4-19 題4-12系統的單位階躍響應曲線
4-13 【解】（1）具體繪製步驟省略，得到的根軌跡如圖4-20所示。
圖4-20 題4-13系統的根軌跡圖
（2）經計算根軌跡在實軸上的分離點座標為d＝-0.423，根軌跡與虛軸的交點為，對應的臨界開環根軌跡增益為k*＝6。
當系統動態過程為衰減振盪形式時，說明系統處於欠阻尼工作狀態，此時系統有一對負實部的共軛複數極點。從根軌跡圖4-20可以看出，當閉環極點位於從分離點到虛軸交點之間的根軌跡時，系統處於欠阻尼工作狀態。因此，只要求出分離點及虛軸交點處對應的開環根軌跡增益，就能得到滿足題意的k*值範圍。
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