綜合題的生成與特點
中考試題的選拔功能往往體現在綜合題上。對於常規題只要認真細心、正常發揮，一般沒有多大問題。只有面對綜合題或新題型時，才會感到數學難學，所以綜合題一般比較難。
但是難題不見得是綜合題，有的難題非常的偏、非常怪，做它並沒有多大的意義，而綜合題則不同，多種知識間的綜合運用往往是有脈絡可查的。如何解答綜合題，如何尋找這個解題脈絡是我們要思考、研究的內容。
綜合題大致分三類：代數綜合題、幾何綜合題、代幾綜合題。下面來看個例題，觀察下綜合題的綜合性是怎麼體現的。
【例1】在△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab交於點d，且ab=4cd，求tan∠a。
分析：原題沒有圖，很容易根據題意畫出圖，馬上發現這是乙個典型的「雙垂直」圖形，它
蘊含的幾何性質非常多，是數學中的乙個基本圖形。其中：
（1）有4對互餘的角，即
∠a+∠b=90° ∠a+∠acd=90°
∠b+∠bcd=90° ∠acd+∠bcd=90°
易知有2對相等的銳角，即∠b=∠acd，∠a=∠bcd
（2）有3對相似三角形
△acd∽△cbd △acd∽△abc △bcd∽△bac
（3）有5個關係式
（面積轉換） （由前推出）
（4）有3個勾股定理
再來看tan∠a=，已知條件ab=4cd讓我們很為難。其實，把以上圖形的性質、數量關係都思考出來後，針對ab=4cd不難想到設引數表述。當我們知道2個未知量之間的數量關係時（如：
和、差、積、商），往往是借助引數和已知關係來表示這2個未知量。可設：，則，結合tan∠a=以及，你能否想到如何解答嗎？
令，則，由於：，於是有：
，整理得：，解一元二次方程
tan∠a= = =（有2個答案，都符合，為什麼？）
回顧本題涉及的主要知識點：（1）一元二次方程的解法（含字母係數）（2）三角函式概念（3）相似形
主要數學思想方法有：（1）轉化思想（2）方程思想（3）數形結合思想（4）分類討論思想
可以看出綜合題的一些共同特點：
（1）綜合題涉及的知識點多，題目條件隱蔽，結構複雜
（2）綜合題的解答一般滲透多種數學方法、思想，常見有：①幾何變換 ②配方法 ③換元法④待定係數法 ⑤判別式法、根與係數 ⑥分類討論 ⑦數形結合 ⑧方程思想 ⑨函式思想 ⑩化歸思想
綜合題解題策略
前面我們知道，綜合題涉及的知識點多，題目條件隱蔽或圖形性質較多。有的綜合題可能蘊含多種數學思想；有的綜合題可能設計新穎，表面看不出解題的影子；有的綜合題可能在演算法上還有一定的技巧性，但不論綜合題多麼複雜，它都一定會在已知條件或已知圖形中透露出必要的解題資訊和方向，所以審題尤為重要，要仔細思考已知條件和所求結論之間的因果關係，就能找到解題的方法。
所有的綜合題，不管哪種型別，在分析解決它們的過程中，總有普遍且通用的規律可循。看看下面幾個例題，每個題都按照「審明題意－確定方向－完成解答－總結歸納」四個環節進行，希望能幫你了解綜合解題基本策略。
【例2】如圖，平面直角座標系中，直線與軸負半軸交於點a，與軸正半軸交於點b，⊙p經過點a、b（圓心p在軸負半軸上），已知ab=10，ap=
（1）求直線的解析式
（2）在⊙p上是否存在一點q，使以a、p、b、q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點q的座標；若不存在，說明理由。
審明題意
（1）ab是弦，ap是半徑，應該馬上想到垂徑定理，也就是作
出弦ab的弦心距pe，pe長勾股定理可求出，結合座標系有對
基本的相似圖（a型圖），也就是a、b座標可求，再由待定係數
法，問題1得解
（2）要**q點的存在性，使a、p、b、q為頂點的四邊形是
菱形，要馬上明白ab可以是菱形的某邊或者對角線，所以要分類討論。
確定方向
（1）由△ape∽△abo，求出oa、ob長，確定a、b座標
（2）以ab為對角線時，判斷二條對角線是否互相垂直平分，以ab為邊時，判斷二鄰邊是否相等。
完成解答
總結歸納
通過此題，要認識到基礎知識靈活運用的必要性，以及基本圖形的識別，如「a型圖」，另外不確定點的位置時，要有分類討論的意識。
【例3】已知a、b、c三點的座標分別為a（0,1），b（-1,0），c（1,0），點p是線段ac上任意一點，bp交oa於點d，設△adp的面積為，點p的座標為，求關於的函式關係式。
審明題意
（1）易知oa=ob=oc=1，∠oac=∠oca=45°
（2）因為，需要繼續發展條件，使、在圖中
顯現出來，故作pe⊥軸，pf⊥軸，則：
pe=of=，pf=oe=，因此ae=pe=，fc=pf=
而fc=oc-of=1－，所以=1－，繼續分析，bf=bc－fc=2－
od∥pf，得基本相似形（a型圖）△bod∽△bfp
確定方向
欲求關於的函式關係式，關鍵是求出△adp的面積。當做出輔助線後，其實就作出了△adp底邊ad的高pe，則，從未問題轉換為用表示ad，而ad=oa－od=1－od，進一步轉換為用表示od，由相似得解
完成解答
總結歸納
（1）平面直角座標系中，點的座標要轉換為線段長，常用輔助線是作座標軸的垂線
（2）平面直角座標系中求三角形的面積要善於靈活選擇底和高，一般情況下：選擇落在座標軸上的邊作為底邊，或與座標軸平行的邊作為底邊，這樣底邊的高也就落在座標軸上或平行於座標軸，如此便於點的座標與線段長得互相轉化。當然這不是絕對的。
（3）重視基本圖形性質挖掘，如本題：等腰直角三角形、a型圖
【例4】平面直角座標系中，拋物線與軸的交點分別為原點o和點a，點b（2，n）在這條拋物線上。
（1）求b點的座標
（2）點p**段oa上，從點o出發向點a運動，過點p作軸的垂線，與直線ob交於點e，延長pe到點d，使得ed=pe，以pd為斜邊，在pd右側作等腰直角三角形pcd
①當等腰直角三角形pcd的頂點c落在此拋物線上時，求op的長；
②若p點從點o出發向點a作勻速運動，速度為1個單位每秒，同時線段oa上另乙個點q從點a出發向點o做勻速運動，速度為2個單位每秒（當點q到達點o時停止運動，點p也同時停止運動。）過點q作軸的垂線與直線ab交於點f，延長qf到點m，使得fm=qf，以qm為斜邊，在qm的左側作等腰直角三角形qmn（當q點運動時，m點，n點也隨之運動）。若p點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。
審明題意
此題題目文字量大，資訊複雜，缺乏必要的圖形。（閱讀理解
能力也是一種數學能力，這類題可稱為閱讀型題目）。需要靜
下心來，認真讀題，逐句分析，畫出示意圖。
（1）拋物線過原點，很容易求出m的值，進而得到該二
次函式的解析式，從而畫出草圖。解析式知道後，a、b為拋物
線上的點，所以座標可得
（2）作為以函式為主的綜合題，題幹部分如出現「直線」字樣，就應該想到待定係數法求直線的解析式
（3）動點的問題，一般要分類討論，取點的特殊情況時，動變為「靜」，這時結合相關幾何圖形性質和函式、座標系的特有性質，靈活設未知數解決相關問題。
確定方向
（1）求op長，實際就是求p的橫座標，可設p（a，0），可得e（a，2a），c（3a，2a）
e座標是由二直線交點，而c點座標是根據等腰直角三角形性質得到，c在拋物線上，代入解析式所以op長可求
（2）**段oa上引入另乙個動點q，要求運動時間的值，一定要正確的用變數t和隱藏條件oa=10，把圍繞二個等腰直角三角形的線段長表示出來，借助圖形性質求解。
完成解答
總結歸納
（1）這是2010北京中考壓軸題，借助動點把一次函式、二次函式、等腰直角三角形巧妙的聯絡起來。當函式與幾何圖形結合時，關鍵是要做好點的座標與線段長的互相轉化。
（2）怎麼進行分類討論，需要在實踐中總結反思，不斷提高分析問題、解決問題的能力，經驗的積累是破解中考難題的有力保證，所以要做一定量有內涵的題目。
【例5】如圖，ab為⊙o的直徑，且弦cd⊥ab交於點e，過點b的切線與ad的延長線交於點f。
（1）若m是ad的中點，連線me並延長me交bc於點n，
求證：mn⊥bc
（2）若cos∠c=，df=3，求⊙o的半徑。
審明題意
（1）ab為⊙o的直徑，應馬上想到「直徑所對的圓周角是90°」，由此得到直角三角形
（2）弦cd與ab垂直，傳遞了可能用到垂徑定理，則e為cd中點，題目提到m是ad的中點，想到了三角形的中位線。
（3）bf是切線，可知bf⊥ab，若連線bd，則bd⊥ad，又是「雙垂直」圖。
確定方向
（1）要求證mn⊥bc，關鍵是認識到mn這條線段的產生：「若m是ad的中點，連線me並延長me交bc於點n」。因為m、e是二個中點，若連線ac，則me∥ac
（2）cos∠c=，df=3，條件分散，要運用數學中的「集散思想」，把分散的條件集中。這裡要借助圓周角定理，把條件集中到rt△abf中。
完成解答
總結歸納
（1）三角函式的問題要回歸定義，初中階段銳角三角函式是以直角三角形為背景加以定義的，因此要構造出含有所給角（或其等角）的直角三角形。
（2）題目中有圓的直徑要注意這麼幾個問題：① 直徑所對圓周角為直角，加上垂徑定理，很容易得到特殊圖形，如「雙垂直」圖；② 圓心為直徑的中點，如果題目中，再提供類似中點的條件，那麼考慮三角形中位線或者平行線等分線段定理的運用。
【本講綜述】
（1）綜合題感覺無從下手，碰釘子，是正常的。解題後的及時總結與反思（教訓也好，經驗也好）顯得非常重要，非常有利於我們今後解決類似問題。要勤於思考、善於總結。
（2）沒有什麼比審題更重要，審出的東西越多那麼對解題就越有幫助。每個題都按照「審明題意－確定方向－完成解答－總結歸納」這樣的程式去分析和解決它。
（3）思維是發散的，但解題不能散漫，目的性要強，最終圍繞解決問題這個中心。
請在下面自己總結一下：
【綜合練習】
1、已知a、b、c是△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊，拋物線交軸於m、n點，交軸於p點，其中點m的座標是（a+c，0）。（此題無圖）
（1）判定並證明△abc是個什麼形狀的三角形
（2）若△mnp的面積是△nop面積的2.5倍
①求的值
②△abc的三邊長能否取一組適當的值，使以mn為直徑的圓恰好經過拋物線頂點？如能，求出這組值；如不能，請說明理由。
2、如圖，ab是半圓o的直徑，ac垂直於ab且ac=ab，在半圓上任取一點d（不與a、b重合），做de垂直dc於點d交線段ba或其延長線與點e。bf垂直ab於b點，交線段ad的延長線與f。
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