湖南省黃愛民高明生
數列與其它數學知識的綜合性問題一直是高考的熱點，數列綜合題一般是以數列與函式、數列與不等式，數列與解析幾何為主，全面考查函式與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想以及分析和解決問題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性。下舉例談談數列綜合題的常見型別及方法解析。
一、 等差、等比數列的綜合問題
例1、已知數列中，，且對任意正整數都有．數列對任意自然數都有．（ⅰ）求證數列是等比數列；（ⅱ）求數列的通項公式；（ⅲ）設數列的前項的和為，求的值．
分析： 已知條件中，數列的通項公式是通過相鄰兩項之間的關係給出的，而數列的通項公式則是通過數列給出．因此，解答本題自然有兩種思路：一是從數列入手，這就應該通過代數變形，致力於證明為定值；二是從數列的通項公式入手．如何求出數列的通項公式呢？
由於已知條件與等比數列很相似，結合上下文，則可以考慮設法構造出乙個與及有關的新的等比數列．
解法1：（1）∵，∴．∴ 一方面， ，另一方面， ，∴．
又，∴ 數列是以為首項，以為公比的等比數列．（2）由（1）可知：，又，∴，．（3）．
解法2：設數列為等比數列，則，對照，不難解得：，．∴ 數列是以為首項，以為公比的等比數列．∴．∴．∴ =．
∴．∴．
評析：解法1是按照題目設問由易到難的順序，思路自然順暢；解法2雖不失為巧思妙解，但其思路的獲得一方面源於對的認識，另一方面，題目的設問也給了我們一定的提示．
二、 數列與函式綜合問題
例2、函式是定義在［0，1］上的增函式，滿足且，在每個區間（1，2……）上，的圖象都是斜率為同一常數k的直線的一部分。
（i）求及，的值，並歸納出的表示式;
（ii）設直線，，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2……），記，求的表示式，並寫出其定義域和最小值。
分析：本小題主要考查函式、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.
解：（i）由，得由及，得. 同理，.歸納得.
（ii）當時, ，
.所以是首項為，公比為的等比數列,所以. 的定義域為1，當時取得最小值.
評析：本題第一問用到了「歸納—猜想—證明」的思維模式，第二問則用到了化歸轉化求極限的數學思想。這是求解數列問題最為常用的思想方法。
三、 數列與不等式綜合問題
例3、設數列滿足
（1）證明：對一切正整數n 成立；（2）令,判斷的大小，並說明理由。
分析：本題第一問是屬於遞推關係型數列探求數列中有關恆成立問題；第二問是不等式中大小比較問題。（i）證法一：當不等式成立.
綜上由數學歸納法可知，對一切正整數成立.
證法二：當n=1時，.結論成立.假設n=k時結論成立，即
當的單增性和歸納假設有
所以當n=k+1時，結論成立.因此，對一切正整數n均成立.
證法三：由遞推公式得
上述各式相加並化簡得
（ii）解法一：
評析：對於數列中有關恆成立的問題的引數取值問題，常常採用「猜想—歸納—證明」，分離引數或者放縮累加的方法求解。而對於數列中大小比較問題採用作差比較或數學歸納法求解。
四、 數列與解析幾何綜合問題
例4、由座標原點o向曲線引切線，切於o以外的點p1，再由p1引此曲線的切線，切於p1以外的點p2），如此進行下去，得到點列}。求：（ⅰ）的關係式；（ⅱ）數列的通項公式；（ⅲ）當時，的極限位置的座標.
分析：本題主要考查數列與解析幾何中的切線、導數及極限等問題。著重考查運用數列知識解決相關數學知識的能力。
解：（ⅰ） 過點p1（的切線為
過原點則過點過點
整理得（ⅱ）由（i）得， 公比為的等比數
列.……8分
（法二）通過計算再用數學歸納法證明.
（ⅲ）……12分
的極限位置為（
評析：數列與解析幾何綜合題常常考查數列中的遞推關係和極限思想，求解這類問題的關鍵是正確寫出遞推關係，並在此基礎上求出數列通項公式，掌握常見的數列極限思想。
五、 數列創新題
例5、如圖是乙個類似「楊輝三角」的圖形，第n行共有n個數，且該行的第乙個數和最後乙個數都是n,中間任意乙個數都等於第n－1行與之相鄰的兩個數的和，分別表示第n行的第乙個數，第二個數，…….第n 個數。
求的通項公式。
分析：要求通項公式，首先應根據圖形關係理清解題思路，其次應反覆觀察圖形中各項的變化規律，以便找到解決問題的突破口。
解：（1）由圖易知從而知是一階等差數列，即
以上n-1個式相加即可得到：
評析：數列創新題是近年高考創新題的熱點問題。求解這類題目的關鍵是仔細觀察各行項與行列式的對應關係，通常需轉化成一階（或二階）等差數列結合求和方法來求解。
六、 數列應用題
例6、某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件。若作廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出件，（n∈n*）。
（1）試寫出銷售量s與n的函式關係式；
（2）當a=10,b=4000時廠家應生產多少件這種產品，做幾千元廣告，才能獲利最大？
分析：對於(1)中的函式關係，設廣告費為n千元時的銷量為sn,則sn-1表示廣告費為(n-1)元時的銷量，由題意，sn——sn-1=，可知數列不成等差也不成等比數列，但是兩者的差構成等比數列，對於這類問題一般有以下兩種方法求解：
解法一、直接列式：由題，s=b++++…+=b(2-)
（廣告費為1千元時，s=b+；2千元時，s=b++；…n千元時s=b++++…+）
解法二、（累差疊加法）設s0表示廣告費為0千元時的銷售量，
由題：，相加得sn-s0=+++…+,即s=b++++…+=b(2-)。
（2）b=4000時，s=4000(2-),設獲利為t,則有t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n
欲使tn最大，則：，得，故n=5,此時s=7875。即該廠家應生產7875件產品，做5千元的廣告，能使獲利最大。
評析：有的應用題中的數列遞推關係，an與an-1的差（或商）不是乙個常數，但是所得的差f(n)本身構成乙個等差或等比數列，這在一定程度上增加了遞推的難度。
七、 探索性問題
例7、數列｛｝的前ｎ項和滿足：＝２－３n．（ｎ∈ｎ）
（1） 求數列｛｝的通項公式；
（2） 數列｛｝中是否存在三項,它們可以構成等差數列?若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在, 請說明理由．
分析 ：本題第一問是屬於已知「sn與an的關係式」探求數列通項問題，常用轉化求解；第二問是存在型探索性問題。
解：(1)當ｎ∈ｎ時有：＝２－３n，∴＝２－３(n+1)，兩式相減得：＝2又數列｛＋３｝是首項為6，公比為2的等比數列．從而+3
另解：歸納猜想再用數學歸納法證，過程略。
（2） 假設數列｛｝中是否存在三項, , ,(r均為正整數，∴式左邊為奇數右邊為偶數，不可能成立．因此數列｛｝中不存在可以構成等差數列的三項．
評析：本題第二問就屬於存在型探索性問題，求解方法是假設存在，然後依據題設條件進行邏輯推理最後得正確判斷。
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