知識點梳理：
型別1：設，（1）上恆成立；（2）上恆成立。
型別2：設
（1）當時，上恆成立，
上恆成立
（2）當時，上恆成立
上恆成立
型別3：
。型別4：
恆成一、用一次函式的性質
對於一次函式有：
三、典型例題講解：
例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的範圍。
解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恆成立，所以只需即，所以x的範圍是。
二、利用一元二次函式的判別式
對於一元二次函式有：
（1）上恆成立；
（2）上恆成立
例2：若不等式的解集是r，求m的範圍。
解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項係數含有引數m，所以要討論m-1是否是0。
（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恆成立，滿足題意；
（2）時，只需，所以，。
三、利用函式的最值（或值域）
（1）對任意x都成立；
（2）對任意x都成立。簡單計作：「大的大於最大的，小的小於最小的」。由此看出，本類問題實質上是一類求函式的最值問題。
例3：在abc中，已知恆成立，求實數m的範圍。
解析：由
，，恆成立，，即恆成立，
例4：（1）求使不等式恆成立的實數a的範圍。
解析：由於函，顯然函式有最大值，。
如果把上題稍微改一點，那麼答案又如何呢？請看下題：
（2）求使不等式恆成立的實數a的範圍。
解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區別，主要在於自變數的取值範圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。
所以，我們對這類題要注意看看函式能否取得最值，因為這直接關係到最後所求引數a的取值。利用這種方法時，一般要求把引數單獨放在一側，所以也叫分離引數法。
四：數形結合法
對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函式的圖象法求解。
例5：已知，求實數a的取值範圍。
解析：由，在同一直角座標系中做出兩個函式的圖象，如果兩個函式分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等於2和0.5，並作出函式的圖象，所以，要想使函式在區間中恆成立，只須在區間對應的圖象在在區間對應圖象的上面即可。
當才能保證，而才可以，所以。
例6：若當p(m,n)為圓上任意一點時，不等式恆成立，則c的取值範圍是（ ）
a、 b、
cd、解析：由，可以看作是點p(m,n)在直線的右側，而點p(m,n)在圓上，實質相當於是在直線的右側並與它相離或相切。，故選d。
4、當堂練習：
1、設其中，如果時，恒有意義，求的取值範圍。
分析：如果時，恒有意義，則可轉化為恆成立，即引數分離後，恆成立，接下來可轉化為二次函式區間最值求解。
解：如果時，恒有意義，對恆成立.
恆成立。
令，又則對恆成立，又在上為減函式，，。
2、設函式是定義在上的增函式，如果不等式對於任意恆成立，求實數的取值範圍。
分析：本題可利用函式的單調性把原不等式問題轉化為對於任意恆成立，從而轉化為二次函式區間最值求解。
解：是增函式對於任意恆成立
對於任意恆成立
對於任意恆成立，令，，所以原問題，又即易求得。
3、 已知當xr時，不等式a+cos2x<5-4sinx恆成立，求實數a的取值範圍。
方法一）分析：在不等式中含有兩個變數a及x，本題必須由x的範圍（xr）來求另一變數a的範圍，故可考慮將a及x分離建構函式利用函式定義域上的最值求解a的取值範圍。
解：原不等式
當xr時，不等式a+cos2x<5-4sinx恆成立設則∴
方法二）題目**現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若採用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關於t的二次不等式，從而可利用二次函式區間最值求解。
解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化為
a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t [-1,1],
不等式a+cos2x<5-4sinx恆成立2t2-4t+4-a>0,t [-1,1]恆成立。
設f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在[-1，1]內單調遞減，f(t)min=f(1)=2-a, 2-a>0a<2
4、 設f(x)=x2-2ax+2,當x [-1,+)時，都有f(x) a恆成立，求a的取值範圍。
分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等號的左邊，則原問題可轉化為二次函式區間恆成立問題。
解：設f(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)當=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2ⅱ）當=4（a-1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：
即得-3a-2;
綜上所述：a的取值範圍為[-3，1]。
5、、當x (1,2)時，不等式(x-1)2分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函式，則左邊為二次函式，右邊為對數函式，故可以採用數形結合借助圖象位置關係通過特指求解a的取值範圍。
解：設t1: =,t2:,則t1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x (1,2), 《恆成立即t1的圖象一定要在t2的圖象所的下方，顯然a>1,並且必須也只需
故loga2>1,a>1, 16、、已知關於x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實數a的取值範圍。
分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別建構函式即二次函式y= x2+20x與一次函式y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函式的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。
解：令t1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, t2：
y2=8x-6a-3,則如圖所示，t1的圖象為一拋物線，t2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使t1和t2在x軸上有唯一交點，則直線必須位於l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)
當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;
當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=∴a的範圍為[，）。
7、對於滿足|p|2的所有實數p,求使不等式x2+px+1>2p+x恆成立的x的取值範圍。
分析：在不等式**現了兩個變數：x、p,並且是給出了p的範圍要求x的相應範圍，直接從x的不等式正面出發直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變數，x看成參變數，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關於p的一次函式函式值大於0恆成立求參變數x的範圍的問題。
解：原不等式可化為 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價於f(p)>0在p∈[-2,2]上恆成立，故有：
方法一：或∴x<-1或x>3.
方法二：即解得：
∴x<-1或x>3.
5、課後作業：
1. （1）若關於的不等式的解集為，求實數的取值範圍；（2）若關於的不等式的解集不是空集，求實數的取值範圍．w.w.
w.k.s.
5.u.c.
o.m解：（1）設.則關於的不等式的解集為在上恆成立,
即解得（2）設.則關於的不等式的解集不是空集在上能成立,
即解得或.
2、若函式在r上恆成立，求m的取值範圍。
分析：該題就轉化為被開方數在r上恆成立問題，並且注意對二次項係數的討論。
略解：要使在r上恆成立，即在r上
恆成立。
時， 成立
時，，由，可知，
3.已知函式，⑴在r上恆成立，求的取值範圍。
⑵若時，恆成立，求的取值範圍。
⑶若時，恆成立，求的取值範圍。
⑴ 分析：的函式影象都在x軸上方，即與x軸沒有交點。
略解：⑵，令在上的最小值為。
⑴當，即時， 又
不存在。
⑵當，即時， 又
⑶當，即時， 又
總上所述，。
⑶解法一：分析：題目中要證明在上恆成立，若把移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函式在區間時恆大於等於0的問題。
略解：，即在上成立。⑴ ⑵
綜上所述，。
解法二：（利用根的分布情況知識）
⑴當，即時， 不存在。
⑵當，即時，，
⑶當，即時，，
綜上所述。
此題屬於含引數二次函式，求最值時，軸變區間定的情形，還有與其相反的，軸動區間定。
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