知識點梳理
1．導數與函式單調性的關係
設函式在某個區間內可導，則在此區間內：
（1）↗，↗；
（2）時， ↗
（單調遞減也類似的結論）
2．單調區間的求解過程：已知
（1）分析的定義域；
（2）求導數；
（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間
（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間
3．函式極值的求解步驟：
（1）分析的定義域；
（2）求導數並解方程；
（3）判斷出函式的單調性；
（4）在定義域內導數為零且由增變減的地方取極大值；
在定義域內導數為零且由減變增的地方取極小值。
4．函式在區間內的最值的求解步驟：
利用單調性或者在求得極值的基礎上再考慮端點值比較即可。
1、典型例題講解
例1、已知函式，
（1）討論方程（為常數）的實根的個數。
（2）若對，恒有成立，求的取值範圍。
（3）若對，恒有成立，求的取值範圍。
（4）若對，，恒有成立，
求的取值範圍。
解：（1）求導得：
令解得，此時遞增，
令解得， 此時遞減，
當時取極大值為
當時取極小值為
方程（為常數）的實根的個數就是函式
與的圖象的交點個數
當或時方程有1個實根；
當或時方程有2個實根；
當時方程有3個實根。
（2）時，要使得恆成立，則只需
由（1）可知時
（3）時，要使得恆成立，
即，設，
則只需時
令得或比較
得 即
（4）要有對，，恒有成立，
則只需在中
由（1）可知時
而的對稱軸為且開口向下，當時即
練習1.已知函式，
(1).求在上的最值。
(2).若對，恆成立，求的取值範圍。
(3).若對，恆成立，求的取值範圍。
(4).若，對，使得恆成立，求的取值範圍。
歷年導數高考題
1.(2007湖北, 20, 13分) 已知定義在正實數集上的函式f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 設兩曲線y=f(x) , y=g(x) 有公共點, 且在該點處的切線相同.
(ⅰ) 用a表示b, 並求b的最大值;
(ⅱ) 求證:f(x) ≥g(x) (x>0) .
(ⅰ) 設y=f(x) 與y=g(x) (x>0) 在公共點(x0, y0) 處的切線相同.
∵f '(x) =x+2a, g'(x) =, 由題意f(x0) =g(x0) ,
f '(x0) =g'(x0) . 即
由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(捨去) .
則有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.
令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 則h'(t) =2t(1-3ln t) . 於是
當t(1-3ln t) >0, 即00;
當t(1-3ln t) <0, 即t>時, h'(t) <0.
故h(t) 在(0, -) 為增函式, 在(, +∞) 為減函式.
於是h(t) 在(0, +∞) 的最大值為h() =.
(ⅱ) 證明:設f(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) ,
則f'(x) =x+2a-=(x>0) .
故f(x) 在(0, a) 為減函式, 在(a, +∞) 為增函式,
於是函式f(x) 在(0, +∞) 上的最小值是
f(a) =f(x0) =f(x0) -g(x0) =0.
故當x>0時, 有f(x) -g(x) ≥0, 即當x>0時, f(x) ≥g(x) .
2.(2007天津, 20, 12分) 已知函式f(x) =(x∈r) , 其中a∈r.
(ⅰ) 當a=1時, 求曲線y=f(x) 在點(2, f(2) ) 處的切線方程;
(ⅱ) 當a≠0時, 求函式f(x) 的單調區間與極值.
2.(ⅰ) 當a=1時, f(x) =, f(2) =,
又f '(x) ==, f '(2) =-.
所以, 曲線y=f(x) 在點(2, f(2) ) 處的切線方程為
y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0.
(ⅱ) f '(x) =. =.
由於a≠0, 以下分兩種情況討論.
(1) 當a>0時, 令f '(x) =0, 得到x1=-, x2=a. 當x變化時, f '(x) , f(x) 的變化情況如下表:
所以f(x) 在區間, (a, +∞) 內為減函式, 在區間內為增函式.
函式f(x) 在x1=-處取得極小值f, 且f=-a2.
函式f(x) 在x2=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1.
(2) 當a<0時, 令f '(x) =0, 得到x1=a, x2=-. 當x變化時, f '(x) , f(x) 的變化情況如下表:
所以f(x) 在區間(-∞, a) , 內為增函式, 在區間內為減函式.
函式f(x) 在x1=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1.
函式f(x) 在x2=-處取得極小值f, 且f=-a2.
3. (2007全國ⅱ, 22, 12分) 已知函式f(x) =x3-x.
(ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點m(t, f(t) ) 處的切線方程;
(ⅱ) 設a>0, 如果過點(a, b) 時作曲線y=f(x) 的三條切線, 證明:-a(ⅰ) 求函式f(x) 的導數: f '(x) =3x2-1.
曲線y=f(x) , 在點m(t, f(t) ) 處的切線方程為:
y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3.
(ⅱ) 證明:如果有一條切線過點(a, b) ,
則存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3.
於是, 若過點(a, b) 可作曲線y=f(x) 的三條切線,
則方程2t3-3at2+a+b=0. 有三個相異的實數根.
4. (2008天津, 20, 12分) 已知函式f(x) =x++b(x≠0) , 其中a, b∈r.
(ⅰ) 若曲線y=f(x) 在點p(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3x+1, 求函式f(x) 的解析式;
(ⅱ) 討論函式f(x) 的單調性;
(ⅲ) 若對於任意的a∈, 不等式f(x) ≤10在上恆成立, 求b的取值範圍.
(ⅰ) f '(x) =1-, 由導數的幾何意義得f '(2) =3, 於是a=-8.
由切點p(2, f(2) ) 在直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9. 所以函式f(x) 的解析式為f(x) =x-+9.
(ⅱ) f '(x) =1-.
當a≤0時, 顯然f '(x) >0(x≠0) . 這時f(x) 在(-∞, 0) 、(0, +∞) 內是增函式;當a>0時, 令f '(x) =0, 解得x=±.
當x變化時, f '(x) 、f(x) 的變化情況如下表:
所以f(x) 在內是增函式, 在(-, 0) 、(0, ) 內是減函式.
(ⅲ) 由(ⅱ) 知, f(x) 在上的最大值為f與f(1) 中的較大者, 對於任意的a∈, 不等式f(x) ≤10在上恆成立, 當且僅當即
對任意的a∈成立. 從而得b≤,
所以滿足條件的b的取值範圍是.
5. (2009重慶, 20, 13分) 設函式f(x) =ax2+bx+c(a≠0) , 曲線y=f(x) 通過點(0, 2a+3) , 且在點(-1, f(-1) ) 處的切線垂直於y軸.
(ⅰ) 用a分別表示b和c;
(ⅱ) 當bc取得最小值時, 求函式g(x) =-f(x) e-x的單調區間.
6.(ⅰ) 因為f(x) =ax2+bx+c, 所以f '(x) =2ax+b.
又因為曲線y=f(x) 通過點(0, 2a+3) ,
故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 從而c=2a+3.
又曲線y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 處的切線垂直於y軸,
故f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a.
(ⅱ) 由(ⅰ) 得bc=2a(2a+3) =4-,
故當a=-時, bc取得最小值-. 此時有b=-, c=.
從而f(x) =-x2-x+, f '(x) =-x-.
g(x) =-f(x) e-x=e-x,
所以g'(x) =[f(x) -f '(x) ]e-x=-(x2-4) e-x.
令g'(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 當x∈(-∞, -2) 時, g'(x) <0,
故g(x) 在x∈(-∞, -2) 上為減函式;
當x∈(-2, 2) 時, g'(x) >0, 故g(x) 在x∈(-2, 2) 上為增函式;
當x∈(2, +∞) 時, g'(x) <0, 故g(x) 在x∈(2, +∞) 上為減函式.
由此可見, 函式g(x) 的單調遞減區間為(-∞, -2) 和(2, +∞) ;單調遞增區間為(-2, 2) .
7.(2009北京, 18, 13分) 設函式f(x) =xekx(k≠0) .
(ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程;
(ⅱ) 求函式f(x) 的單調區間;
(ⅲ) 若函式f(x) 在區間(-1, 1) 內單調遞增, 求k的取值範圍.
7.(ⅰ) f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程為y=x.
(ⅱ) 由f '(x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k≠0) .
若k>0, 則當x∈時, f '(x) <0, 函式f(x) 單調遞減;
當x∈時, f '(x) >0, 函式f(x) 單調遞增.
若k<0, 則當x∈時, f '(x) >0, 函式f(x) 單調遞增;
當x∈時, f '(x) <0, 函式f(x) 單調遞減.
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知識點梳理 1 導數與函式單調性的關係 設函式在某個區間內可導，則在此區間內 1 2 時，單調遞減也類似的結論 2 單調區間的求解過程 已知 1 分析的定義域 2 求導數 3 解不等式，解集在定義域內的部分為增區間 4 解不等式，解集在定義域內的部分為減區間 3 函式極值的求解步驟 1 分析的定義域...
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