2023年高三診斷考試
數學（理科）參***和評分參考
一、選擇題（12小題，每小題5分，共60分）
（1）c （2）c （3）b （4）a （5）d （6）d
（7）d （8）c （9）b （10）c （11）b （12）a
二、填空題（4小題，每小題5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答題(6小題，共70分)
（17）解：（ⅰ）∵∴5分
（ⅱ）∵，且
∴解得：，所以
故10分
解法二：因為，且
由餘弦定理，得：
解得：，所以
∴10分
（18）解：設甲獲獎為事件，乙獲獎為事件，丙獲獎為事件，丙獲獎的概率為，則
即解得3分
（ⅰ）三人中恰有一人獲獎的概率為：
………6分
（ⅱ）10分
12分（19）解法一：
(ⅰ)證明：
∵ 為的中點為正三角形
∴∴ 平面
而平面∴平面平面 ………………6分
∴∴點為的中點
∵ ∴平面7分
過點做，垂足為，連線則，所以為二面角的乙個平面角9分
∵ ∴
設，則12分解法二：
依題意有，，兩兩垂直且相交於點，故建立如圖所示的空間直角座標系，設則：
，，，（ⅰ）∵，
∴，∴∴∴ 平面
而平面∴平面平面6分
∴∴點為的中點
∴∵ ∴平面
∴為平面的乙個法向量
設為平面的乙個法向量，則有，即
令則，∴∴ 而
∴∴ 二面角的正切值12分
（20）解：（ⅰ）∵
∴ 即3分
∴數列是以為首項，為公差的等差數列，故
6分（ⅱ）∵ 9分∴
12分（21）解：（ⅰ）由條件可得，所以點軌跡為以直線為準線，為焦點的拋物線，所以點的軌跡方程為
4分（ⅱ）設，，的中點為，，直線的方程為
由，得6分
所以，從而
∵為正三角形，∴且8分
由，得，所以
由，得即，
∵ ∴，從而10分
∵∴∴的取值範圍12分
（22）解：（ⅰ）∵
∴時，時，時
∴函式在上單調遞增，在上單調遞減
3分∵時，恒有成立
即時，恒有成立
∴∴實數的取值範圍是6分
（ⅱ）證明：由（ⅰ）得
當時恒有，即8分
∴12分
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