數學的本質

數學家懷特海（a. n. whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，「數學的本質特徵就是：

在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，」數學對於理解模式和分析模式之間的關係，是最強有力的技術。」

1．「數學是研究現實世界的空間形式和數量關係的科學」

眾所周知,關於數學的這個定義是恩格斯提出來的.事實上,恩格斯的這個定義,很多年以來,就是國內和國際數學界與哲學界公認的最權威的定義,最新版(2023年版)的《現代漢語詞典》仍然是這樣來定義數學的——「研究現實世界的空間形式和數量關係的學科」.20世紀以來,新的數學分支不斷產生,純數學越來越抽象,它與現實世界之間的距離似乎越來越遠；同時,應用數學在現實世界中的涉及面空前廣泛且越來越廣泛,數學的研究物件似乎不僅僅是空間形式與數量關係；而且,有不少研究者從自己的認識出發,提出了關於數學的多種定義.

於是乎,近些年有人就認為恩格斯給數學所下的定義過時了或「遠遠不夠了」.這樣的認識是片面的,因為事實並非如此.匡繼昌先生深刻分析了「數學是什麼」,認為「數學的定義應該反映數學研究的物件及其本質屬性」,「只有從唯物辯證法的哲學高度,才能認清現實世界的數量關係和空間形式不是固定不變的,而是其內涵不斷加深,外延不斷拓廣的」,所以,「恩格斯關於『數學是什麼』的論斷並未過時」.

2．數學是系統化了的常識

這是國際著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾的觀點.他認為數學的根源是普通常識,作為常識的數學,隨著語言從說話到閱讀和寫作的不斷進步與發展,也不斷地進步與發展著.如數概念的獲得,主要是由口頭語言中相應的數詞來支援的(如從乙個人、一支筆、……,得到「1」),在這個過程中,首先是數學思想的語言表達.

普通常識是有等級的,普通常識由經驗上公升成規律後,這些規律再次成為普通常識,即較高層次的常識.弗賴登塔爾曾經說過：「為了真正的數學及其進步,普通的常識必須要系統化和組織化.

如同以前一樣,普通常識的經驗被結合成為規律(比如加法的交換律),並且這些規律再次成為普通的常識,即較高層次的常識.作為更高層次數學的基礎——乙個巨大的等級體系,是由於非凡的相互影響的力量來建立的.」

3．數學是人為規定的一套語言、符號系統

這是部分數學史家們的看法.持這種觀點的人雖然不多,但很有代表性,它給了我們認識「數學是什麼」的乙個新角度.翻開一部數學史,除了早期的數學與生活有著非常高的關聯度,還需借助現實的生活事實去解釋外,後來的數學就越來越關注自己的「語言、符號」了.

這種現象最早可追溯到歐幾里得的《幾何原本》,到了現代,數學的這種特性表現得更加充分.

當然,數學作為人為規定的一套語言、符號系統,必須要有一定的條件.通俗點講,就是這套語言、符號系統必須能自圓其說,高雅點講,這套系統必須是完備的.舉例來說,如果你規定1+1=3,在此基礎上去構造一套語言、符號系統,並且能自圓其說,也許乙個新的數學分支就誕生了.

數學史上不乏這樣的先例.如伽羅瓦的群論,康托爾的集合論等等,當初他們出現在數學家們的眼前時,並不為大家所認可.但事實證明,這些是數學,而且是非常重要的數學.

由於康托爾的集合論在自圓其說方面有一點小小的問題,從而導致了歷史上的一次嚴重的數學危機.隨著這一危機的解決,集合論變得更加完備,數學的基礎變得更加穩固.集合論的創立是數學史上的乙個巨大成就,以至於今天的小學數學教學中,都必須滲透集合論的思想,從而提高學生的數學認知能力.

4．數學是確定無疑的絕對真理

這是一些數學家和數學哲學家們的觀點.對於他們而言,任何知識都可能出錯,唯獨只有數學是不會出錯的,是可*知識的唯一代表.在他們看來,演繹法為數學知識是絕對真理提供了保證.

首先,數學證明中的基本陳述視其為真,數學公理假定為真,數學定義令其為真,邏輯公理認其為真.其次,邏輯推理規則保持真理性即只承認由真理推導出來真理.以上述兩個事實為基礎,可知演繹證明中的每個陳述包括它的結論都為真.

於是,「由於數學定理都是由演繹證明所確定,因此它們都是可*真理.這就形成了許多哲學家所斷言的數學真理就是可*真理的基礎」.(歐內斯特語)

在這種觀點之下,如果數學出現了矛盾或問題,那不是數學本身的錯,而是人們的認識還未到達相應的境界,數學家和哲學家們會想辦法去解決這些矛盾和問題,解決矛盾和問題的過程本身又促進了數學的發展.如π的出現,對於古希臘的數學家們來說,猶如晴天劈靂,難以接受,故而將其稱為「無理數」.然而,正是為了使「無理」變得「有理」,數概念的範圍從有理數擴充套件到了實數,促進了數學的發展.

後來為了解決函式論和集合論中的一些矛盾,數學哲學也得到了較大發展,形成了邏輯主義、形式主義和構造主義(包括直覺主義)三大學派.

5．數學是可誤的且可糾正的

這是部分數學哲學家們的觀點,他們反對數學是絕對真理的主要理由是絕對觀可歸結為「假設——演繹」方法,數學真理和證明依據演繹和邏輯,但邏輯本身缺乏可*基礎,它還要依據不可簡約的假設.「但任何沒有堅實基礎的假設,不管它是從直覺、約定、意義或以其他任何方式所匯出的,都是可誤的.」(林夏水語)因此,他們認為數學是可糾正的且永遠要接受更正.

數學的本質

數學本質,數學素養

管理的本質

教育的本質

數學的本質

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管理的本質

教育的本質

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