本講概述
本講主要內容為:複數基本概念與運算；代數與三角表示；共軛複數與模；複數的三角不等式；棣莫弗公式
一、運算律
1．代數形式
代數形式是複數的表示形式之一，本講著重研究複數代數形式的四則運算和共軛複數的若干性質．
⑴ 複數的運算法則
對於兩個複數、（、、、）．
加法：；
減法：；
乘法：；
除法：．
⑵ 複數的運算定律
複數的加法滿**換律、結合律，也就是說，對於任何複數、、，均有，．
複數的乘法滿**換律、結合律，也就是說，對於任何複數、、，均有；；
．⑶ 共軛複數的性質
當兩個複數的實部相等，虛部互為相反數時，就稱其互為共軛複數．特別，若複數的虛部不為零時，也稱作互為共軛虛數．對於複數，它的共軛複數用來表示．
①；②；③④；
⑤；⑥；
⑦；⑧是實數的充要條件是；是純虛數的充要條件是．
2．三角形式
我們知道，複數對應的向量的模稱為這個複數的模，即有
．以軸的正半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的角，叫做複數的輻角．適合於的輻角的值，叫做輻角的主值，記作．
從定義中可以得出：
，其中．
稱為複數的三角形式．
⑴ 複數的乘法與乘方若．
兩個複數相乘，積的模等於各複數的模的積，積的輻角等於各複數的輻角的和．
若，則復數次冪的模等於這個複數模的次冪，輻角等於這個複數輻角的倍，這個定理叫做棣莫佛定理．
⑵ 複數的除法
若，則．
兩個複數相除，商的模等於被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等於被除數的輻角減去除數的輻角．
⑶ 複數的開方
複數的次方根是
．複數的次方根是個複數，它們的模都等於這個複數的模的次算術根，它們的輻角分別等於這個複數的輻角與的倍的和的分之一．
⑷ 輻角的三角函式
設複數(尤拉公式)，則
；；．二、復數的幾何意義
複數與復平面內的點及向量（是座標原點）之間構成一一對應關係，這就使得複數本身以及運算中有著深刻的幾何意義．
1．複數加減法的幾何意義
複數的加法可以按照向量的加法法則來進行．
兩個複數的差與連線兩向量終點並指向被減數的向量對應．
複數的三角不等式:
2．複數乘除法的幾何意義
記，．兩個複數的積對應的向量就是把向量按逆時針方向旋轉乙個角（若，則應將按順時針方向旋轉乙個角）．再將它的模變為原來的倍．
複數的除法也有類似的幾何意義．
3．復平面上兩點間的距離公式
複數、在復平面上對應的點為、，表示兩點、之間的距離，則有．
4．復平面上的曲線方程
如果複數對應著復平面上一點就可得出一些常用曲線的複數形式的方程：
⑴ 方程表示以為圓心、為半徑的圓．
⑵ 方程表示線段的垂直平分線．
⑶ 方程表示以、為焦點，為長半軸的橢圓．
若，則此方程表示以、為端點的線段．
⑷ 方程表示以、為焦點，實軸長為的雙曲線．
若，則此方程表示以、為端點的兩條射線．
⑸ 復平面上的特殊區域．
用一些複數模的不等式，就可以表示復平面上的特殊區域．
①表示以為圓心、以為半徑的圓的內部（不包括周界）．
②表示以為圓心、不小於或不大於的圓環（包括周界）．
③表示復平面的右半平面，表示復平面的下半平面．
復數的幾何意義構建了代數與幾何之間的相互聯絡，當中的要害之處在於怎樣選取恰當座標系，進而建立幾何元素的複數表示，以借助複數的運算來**平面幾何問題的解決方案．
1．設複平面上兩點、對應的複數分別是、，那麼這兩點間的距離滿足
．2．設複平面上兩點、對應的複數分別是、，那麼線段定比分點對應的複數可以表示為．
3．復平面上三點、、對應複數、、，這三點共線的充要條件是存在不全為零的實數、、，使如下兩式同時成立：
4．設不共線的四點、、、對應的複數分別是、、、，則、、四點共圓的充要條件是
．其中是非零實數．
5．不共線的三點、、所對應的複數分別是、、，則的面積公式是
．例題精講
【例1】 設、，且，，，試問：與能否比較大小關係？若能，請指明大小關係；若不能，也請說明理由．
【例2】 已知複數、滿足，試求的值．（全國高中數學聯賽試題）
【例3】 (全國高中數學聯賽試題)關於x的方程中，z1、z2、m均是複數，且設這個方程的兩個根滿足，試求|m|的最大值和最小值．
【例4】 (全國高中數學聯賽試題)已知複數z滿足，求z的輻角主值的取值範圍．
【例5】 已知復平面內△abc的頂點a、b、c所對應的複數分別為3＋2i、3i、2－i，動點p對應的複數是z．若關於z的方程0表示△abc的外接圓，求複數.
【例6】 設，且存在滿足，試問：這樣的總共有多少個？
【例7】 設、是複數，若關於的方程的兩根的模相等，求證：是實數．
【例8】 任給個非零實數，證明：下面個數，，，，，中，至少有乙個是非負的．
【例9】 設、、、是複數，求證：．
【例10】 (第1屆cmo)設是複數,滿足。證明：上述n個複數中，必存在若干個複數,他們的和的模不小於
大顯身手
1． (2023年全國高中聯賽題)已知複數z1，z2滿足．若它們所對應向量的夾角為，則________．
2． (2023年全國高中聯賽題)設a、b、c分別是複數對應的不共線的三點(a、b、c都是實數)．證明：曲線與△abc中平行於ac的中位線只有乙個公共點，並求出此點．
3． 若、是銳角的兩個內角，則複數在復平面內所對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
4． 設是模為的複數，則函式的最小值（ ）
a．是b．是c．是d．不存在
5． 是關於的實係數方程有實根的（ ）
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件 c．充分且必要條件 d．非充分又非必要條件
6． 求證：．
7． 若凸邊形內接於單位圓，則它的所有邊及所有對角線的平方和的最大值應是（ ）
ab． c． d．
複數代數形式的四則運算 學生學案 1
3.2.1複數代數形式的加減運算及幾何意義 例1 課本p57例1 計算 5 6i 2 i 3 4i 例2計算 1 2i 2 3i 3 4i 4 5i 2002 2003i 2003 2004i 例3已知複數z1 2 i，z2 1 2i在復平面內對應的點分別為a b，求對應的複數z，z在平面內所對應的...
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