垂徑定理（基礎）
【學習目標】
1.理解圓的對稱性；
2.掌握垂徑定理及其推論；
3.利用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明.
【要點梳理】
知識點一、垂徑定理
1.垂徑定理
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.
要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即
(2)這裡的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
知識點二、垂徑定理的拓展
根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：
（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧.
要點詮釋：
在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直於弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：
「過圓心、平分弦」作為題設時，平分的弦不能是直徑）
【典型例題】
型別一、應用垂徑定理進行計算與證明
1．如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc⊥ab於點d，且ab＝6 cm，od＝4 cm，則dc的長為（ ）
a．5 cm b．2.5 cm c．2 cm d．1 cm
【答案】d
【解析】連oa，由垂徑定理知，
所以在rt△aod中，（cm）．
所以dc＝oc－od＝oa－od＝5－4＝1（cm）
【解析】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長度）構成的直角三角形。
舉一反三：
【高畫質課堂：垂徑定理例5】
【變式】如圖，⊙o中，弦ab⊥弦cd於e，且ae=3cm，be=5cm，求圓心o到弦cd 距離。
【答案】．
2．廣東如圖所示，直線與兩個同心圓分別交於圖示的各點，則正確的是（ ）
a．mp與rn的大小關係不定 b．mp＝rn
c．mp＜rnd．mp＞rn
【答案】b；
【解析】比較線段mp與rn的大小關係，首先可通過測量猜測mp與rn相等，
而證明兩條線段相等通常利用全等三角形，即證△omp≌△onr，
如果聯想到垂徑定理，可過o作oe⊥mn於e，則me＝ne，pe＝re，
∴ me－pe＝ne－re，即mp＝rn．
【解析】在圓中，解有關弦的問題時，常常需要作「垂直於弦的直徑」。
舉一反三：
【高畫質課堂：垂徑定理例2】
【變式】已知：如圖，割線ac與圓o交於點b、c，割線ad過圓心o. 若圓o的半徑是5，且，ad=13. 求弦bc的長.
【答案】6.
型別二、垂徑定理的綜合應用
3．（甘肅蘭州中考題）如圖1，某公園的一座石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24m，拱的半徑為13m，則拱高為（ ）
a．5m b．8m c．7m d．m
【答案】b；
【解析】如圖2，表示橋拱，弦ab的長表示橋的跨度，c為的中點，
cd⊥ab於d，cd表示拱高，o為的圓心，根據垂徑定理的推論可知，
c、d、o三點共線，且oc平分ab．
在rt△aod中，oa＝13，ad＝12，則od2＝oa2－ad2＝132－122＝25．
∴ od＝5，
∴ cd＝oc－od＝13－5＝8，即拱高為8m．
【解析】解決此題的關鍵是將這樣的實際問題轉化為數學問題，即能夠把題目中的已知條件和要求的問題轉化為數學問題中的已知條件和問題．在解答有關弓形問題時，首先應找弓形的弧所在圓的圓心，然後構造直角三角形，運用垂徑定理（推論）及勾股定理求解。
4．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點o是的圓心，其中cd=600m，e為上一點，且oe⊥cd，垂足為f，ef=90m，求這段彎路的半徑．
【答案與解析】
如圖，連線oc，
設彎路的半徑為r，則of=(r-90)m，
∵oe⊥cd，
∴cf=cd=×600=300(m)，
根據勾股定理，得：oc2=cf2+of2
即r2=3002+(r-90)2 ，解得r=545，
∴這段彎路的半徑為545m．
【解析】構造直角三角形，利用垂徑定理、勾股定理，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題的數學方法一定要掌握．
舉一反三：
【變式】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬ab=60m，水面到拱頂距離cd=18m，當洪水氾濫時，水面距拱頂不超過3m時拱橋就有危險，現在水面寬mn=32m時是否需要採取緊急措施？請說明理由．
【答案】不需要採取緊急措施
設oa=r，在rt△aoc中，ac=30，oc=od-cd=r-18，
r2=302+(r-18)2， r2=900+r2-36r+324，
解得r=34(m).
連線om，設de=x，在rt△moe中，me=16，
342=162+(34-x)2，
x2-68x+256=0，
解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)，
∴de=4m＞3m，
∴不需採取緊急措施．
【鞏固練習】
一、選擇題
1.下列結論正確的是（ ）
a．經過圓心的直線是圓的對稱軸b．直徑是圓的對稱軸
c．與圓相交的直線是圓的對稱軸d．與直徑相交的直線是圓的對稱軸
2．下列命題中錯誤的有( )．
(1)弦的垂直平分線經過圓心； (2)平分弦的直徑垂直於弦；
(3)梯形的對角線互相平分； (4)圓的對稱軸是直徑．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
3．如圖所示，ab是⊙o的直徑，cd是⊙o的弦，ab⊥cd於e，則圖中不大於半圓的相等弧有( )．
a．l對 b．2對 c．3對 d．4對
第3題第5題
4．ab為⊙o的弦，oc⊥ab，c為垂足，若oa＝2，oc＝l，則ab的長為( )．
a． b． c． d．
5．如圖所示，矩形abcd與⊙o相交於m、n、f、e，若am=2，de=1，ef=8，則mn的長為（ ）
a．2b．4c．6d．8
6．已知⊙o的直徑ab=12cm，p為ob中點，過p作弦cd與ab相交成30°角，則弦cd的長為（ ）．
a． b． c． d．
二、填空題
7．垂直於弦的直徑的性質定理是
8．平分的直徑________於弦，並且平分
9．圓的半徑為5cm，圓心到弦ab的距離為4cm，則ab=______cm．
10．如圖，cd為⊙o的直徑，ab⊥cd於e，de=8cm，ce=2cm，則ab=______cm．
10題圖11題圖12題圖
11．如圖，⊙o的半徑oc為6cm，弦ab垂直平分oc，則ab=______cm，∠aob=______．
12．如圖，ab為⊙o的弦，∠aob=90°，ab=a，則oa=______，o點到ab的距離=______．
三、解答題
13．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度為60公尺，拱高18公尺，當洪水氾濫到跨度只有30公尺時，要採取緊急措施，若拱頂離水面只有4公尺，即pn=4公尺時是否要採取緊急措施?
14. 如圖所示，ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點p，cd＝10cm，ap:pb＝1:5，求⊙o半徑．
15．如圖所示，⊙o的直徑ab和弦cd交於e，已知ae=6cm，eb=2cm，∠cea＝30°，求cd的長.
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】a；
【解析】圖形的對稱軸是直線，圓的對稱軸是過圓心的直線，或直徑所在的直線.
2.【答案】c；
【解析】(1)正確；
（2）「平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直於弦」才是正確的，所以（2）不正確；
（3）對角線互相平分就是平行四邊形，而不是梯形了，所以（3）不正確；
（4）圓的對稱軸是直徑所在的直線，所以（4）不正確．故選c.
3.【答案】c；
【解析4.【答案】d；
【解析】先求ac=.再求ab=2ac=.
5.【答案】c；
【解析】過o作oh⊥cd並延長，交ab於p，易得dh=5，而am=2，∴mp=3，mn=2mp=2×3=6.
6.【答案】a；
【解析】作oh⊥cd於h，連線od,則oh=, od=6,可求dh=,cd=2dh=.
二、填空題
7．【答案】垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的兩條弧．
8．【答案】弦（不是直徑），垂直於，弦所對的兩條弧．
9．【答案】6；
10．【答案】8；
11．【答案】；
初三數學垂徑定理的應用練習
垂徑定理的應用 1 已知 求作 n m p三點，使這三點把四等分。2 ab是 o的直徑，cd ab，ah oh，ab 6cm，求cd的長 doc的度數。3 如圖，乙個弓形，的半徑為5，弦ab 8，求弓形的高cd。4 o的半徑為25cm，弦ab cd，且ab cd在圓心o的兩側，ab 40cm，cd ...
垂徑定理 圓心角與圓周角關係 確定圓的條件 2
1 如圖，cd為 o的直徑，ab cd於e，de 8cm，ce 2cm，則ab cm 2 如圖，o的半徑oc為6cm，弦ab垂直平分oc，則ab cm，aob 3 如圖，ab為 o的弦，aob 90 ab a，則oa o點到ab的距離 4 如圖，p為 o的弦ab上的動點，pa 6，pb 2，o的半徑...
九年級數學24章圓垂徑定理學案人教新課標版
垂直於弦的直徑學案 24.1.2垂直於弦的直徑作業紙 2 班級姓名 一 必做題 1 o的半徑是5，p是圓內一點，且op 3，過點p最短弦 最長弦的長為 2 如右圖2所示，已知ab為 o的直徑，且ab cd，垂足為m，cd 8，am 2，則om3 o的半徑為5，弦ab的長為6，則ab的弦心距長為 4 ...