2013學年浙江省第二次五校聯考
數學（理科）試題卷
注意事項：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答．答題前，請在答題卷的規定處填寫學校、姓名、考號、科目等指定內容，並正確塗黑相關標記;
2．本試題卷分為第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式：
如果事件a，b互斥，那麼
．如果事件a，b相互獨立，那麼
．如果事件a在一次試驗中發生的概率是，那麼次獨立重複試驗中事件恰好發生次的概率
．球的表面積公式
，其中r表示球的半徑．
球的體積公式
，其中r表示球的半徑．
稜柱的體積公式
，其中表示稜柱的底面積，表示稜柱的高．
稜錐的體積公式
，其中表示稜錐的底面積，表示稜錐的高．
稜臺的體積公式
，其中分別表示稜臺的上、下底面積，表示稜臺的高．
第卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知是虛數單位，則
a． bc． d．
2．設集合，，則
abcd．
3． 函式的最小正週期為
ab． cd．
4．.則「成等比數列」是「」的
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
5．在中，內角的對邊分別為且，則
的值為abcd．
6．在平面直角座標系中，不等式表示的平面區域的面積是
a．8b．4cd．
7．某幾何體是由直三稜柱與圓錐的組合體，其直
觀圖和三檢視如圖所示，正檢視為正方形，其
中俯檢視中橢圓的離心率為
ab．cd．8．如圖，是邊長為2的等邊三角形，是邊上的
動點，於，則的最小值為
ab．cd．9．已知橢圓c:，點為其長軸的6等分點，分別過這五點
作斜率為的一組平行線，交橢圓c於，則直線這10條直線的斜率乘積為
abcd．
10．下列四個函式: ;;; 中 ，僅通過平移變換就能使函式影象為奇函式或偶函式影象的函式為
abcd．
非選擇題部分（共100分）
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11．二項式的展開式中的係數為 ▲ ．
12．若某程式框圖如圖所示，則該程式執行後輸出的值為 ▲ ．
13．若非零向量，滿足，，
則 ▲ ．
14．已知函式的最大值為1，
則15．對任意，都有，，
且在上的值域．則在上
的值域為 ▲ ．
16．兩對夫妻分別帶自己的3個小孩和2個小孩乘纜車遊玩，每一纜車可以乘1人，2人或3人，若小孩必須有自己的父親或母親陪同乘坐，則他們不同的乘纜車順序的方案共有 ▲ 種．
17．已知：長方體，，為對角線的中點，過的直線與長方體表面交於兩點，為長方體表面上的動點，則的取值範圍是 ▲ ．
三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（本題滿分14分）
乙個袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取2個球，記隨機變數為取出2球中白球的個數，已知．
（ⅰ）求袋中白球的個數；
（ⅱ）求隨機變數的分布列及其數學期望．
19．（本題滿分14分）
已知數列的前項和為，且．
（ⅰ）求；
（ⅱ）設，求數列的前項和．
20．（本題滿分15分）
如圖，在四稜錐中，四邊形是正方形，，，分別為的中點.
（ⅰ）求證:平面平面;
（ⅱ）求二面角的平面角的大小.
21．（本題滿分15分）
已知橢圓：的左焦點，離心率為，函式，
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）設，，過的直線交橢圓於兩點，求的最小值，並求此時的的值．
22．（本題滿分14分）
已知，函式（為自然對數的底數）．
（ⅰ）若，求函式的單調區間；
（ⅱ）若的最小值為，求的最小值．
2013學年浙江省第二次五校聯考
數學（理科）答案
一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）
1．b； 2．b； 3．d； 45．a；
67．c； 8．c； 9．b； 10．d．
二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）
111213．214． 0或；
1516． 64817．．
三、解答題（本大題共5小題，第18、19、22題各14分，20、21題各15分，共72分）
18. 解：（ⅰ）設袋中有白球個，則
即，解得
（ⅱ）隨機變數的分布列如下
19.解:（ⅰ）時,
所以20. 解：（ⅰ）因為分別為中點,所以,
又因為是正方形, ,所以,所以平面.
因為分別為中點,所以,所以平面.
所以平面平面.
（ⅱ）法1.易知,又,故平面
分別以為軸和軸,建立空間直角座標系(如圖)
不妨設則,
所以設是平面的法向量,則
所以取,即
設是平面的法向量,則
所以取設二面角的平面角的大小為
所以,二面角的平面角的大小為.
法2. 取中點,聯結則,又平面, ,所以平面,所以平面,所以,.
因為,則,所以平面.
又因為,所以
所以就是二面角的平面角的補角.
不妨設,則
, ,.
所以二面角的平面角的大小為.
21. 解：（ⅰ）,由得,橢圓方程為
（ⅱ）若直線斜率不存在,則=
設直線,
由得所以
故的最小值為,此時.
22. 解:（ⅰ）時, ,
當時,當時,所以的單調減區間為單調增區間為.
（ⅱ）由題意可知:恆成立,且等號可取.
即恆成立,且等號可取.
令由得到,設,
當時,;當時,.
在上遞減,上遞增.所以
當時, ,即,
在上, ,遞減;
在上, ,遞增.
所以 設,
,在上遞減,所以
故方程有唯一解,即.
綜上所述,當時,僅有滿足的最小值為,
故的最小值為.
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