(時間：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在△abc中，ab＝5，bc＝6，ac＝8，則△abc的形狀是( )
a．銳角三角形b．直角三角形
c．鈍角三角形d．非鈍角三角形
解析最大邊ac所對角為b，則cosb＝＝－<0，∴b為鈍角．
答案 c
2．在△abc中，已知a＝1，b＝，a＝30°，b為銳角，那麼a，b，c的大小關係為( )
a．a>b>c b．b>a>c
c．c>b>a d．c>a>b
解析由正弦定理＝，∴sinb＝＝.
∵b為銳角，∴b＝60°，則c＝90°，故c>b>a.
答案 c
3．在△abc中，已知a＝8，b＝60°，c＝75°，則b等於( )
a．4 b．4
c．4 d.
解析由a＋b＋c＝180°，可求得a＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.
答案 c
4．在△abc中，ab＝5，bc＝7，ac＝8，則·的值為( )
a．5 b．－5
c．15 d．－15
解析在△abc中，由餘弦定理得
cosb＝＝＝.
∴·＝||·||cosb＝5×7×＝5.
答案 a
5．若三角形三邊長之比是1：：2，則其所對角之比是( )
a．1：2：3 b．1：：2
c．1：： d.：：2
解析設三邊長分別為a， a,2a，設最大角為a，則cosa＝＝0，∴a＝90°.
設最小角為b，則cosb＝＝，
∴b＝30°，∴c＝60°.
因此三角之比為1：2：3.
答案 a
6．在△abc中，若a＝6，b＝9，a＝45°，則此三角形有( )
a．無解 b．一解
c．兩解 d．解的個數不確定
解析由＝，得sinb＝＝＝>1.
∴此三角形無解．
答案 a
7．已知△abc的外接圓半徑為r，且2r(sin2a－sin2c)＝(a－b)sinb(其中a，b分別為a，b的對邊)，那麼角c的大小為( )
a．30° b．45°
c．60° d．90°
解析根據正弦定理，原式可化為
2r＝(a－b)·，
∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴cosc＝＝，∴c＝45°.
答案 b
8．在△abc中，已知sin2a＋sin2b－sinasinb＝sin2c，且滿足ab＝4，則該三角形的面積為( )
a．1 b．2
c. d.
解析由＝＝＝2r，
又sin2a＋sin2b－sinasinb＝sin2c，
可得a2＋b2－ab＝c2.
∴cosc＝＝，∴c＝60°，sinc＝.
∴s△abc＝absinc＝.
答案 d
9．在△abc中，a＝120°，ab＝5，bc＝7，則的值為( )
a. b.
c. d.
解析由餘弦定理，得
cosa＝，解得ac＝3.
由正弦定理＝＝.
答案 d
10.在三角形abc中，ab＝5，ac＝3，bc＝7，則∠bac的大小為( )
a. b.
c. d.
解析由餘弦定理，得cos∠bac＝＝＝－，∴∠bac＝.
答案 a
11．有一長為1 km的斜坡，它的傾斜角為20°，現要將傾斜角改為10°，則坡底要加長( )
a．0.5 km b．1 km
c．1.5 km d. km
解析如圖，ac＝ab·sin20°＝sin20°，
bc＝ab·cos20°＝cos20°，dc＝＝2cos210°，
∴db＝dc－bc＝2cos210°－cos20°＝1.
答案 b
12．已知△abc中，a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a＝c＝＋，且a＝75°，則b為( )
a．2 b．4＋2
c．4－2 d.－
解析在△abc中，由餘弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosa，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosa＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(捨去)．故選a.
答案 a
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．在△abc中，a＝60°，c＝45°，b＝4，則此三角形的最小邊是
解析由a＋b＋c＝180°，得b＝75°，∴c為最小邊，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．
答案 4(－1)
14．在△abc中，若b＝2a，b＝a＋60°，則a
解析由b＝a＋60°，得
sinb＝sin(a＋60°)＝sina＋cosa.
又由b＝2a，知sinb＝2sina.
∴2sina＝sina＋cosa.
即sina＝cosa.
∵cosa≠0，∴tana＝.
∵0°答案 30°
15．在△abc中，a＋c＝2b，bc＝5，且△abc的面積為10，則bab
解析由a＋c＝2b及a＋b＋c＝180°，得b＝60°.
又s＝ab·bc·sinb，
∴10＝ab×5×sin60°，∴ab＝8.
答案 60° 8
16．在△abc中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，則sina：sinb：sinc
解析設可得a：b：c＝11：9：7.
∴sina：sinb：sinc＝11：9：7.
答案 11：9：7
三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)在非等腰△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b(b＋c)．
(1)求證：a＝2b；
(2)若a＝b，試判斷△abc的形狀．
解 (1)證明：在△abc中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由餘弦定理，得cosb＝＝＝＝＝，
∴sina＝2sinbcosb＝sin2b.
則a＝2b或a＋2b＝π.
若a＋2b＝π，又a＋b＋c＝π，∴b＝c.這與已知相矛盾，故a＝2b.
(2)∵a＝b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.
又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△abc為直角三角形．
18．(12分)銳角三角形abc中，邊a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，角a，b滿足2sin(a＋b)－＝0.求：
(1)角c的度數；
(2)邊c的長度及△abc的面積．
解 (1)由2sin(a＋b)－＝0，得sin(a＋b)＝.
∵△abc為銳角三角形，∴a＋b＝120°，∴∠c＝60°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩個根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosc＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝.
s△abc＝absinc＝×2×＝.
19．(12分)如右圖，某貨輪在a處看燈塔b在貨輪的北偏東75°，距離為12 nmile，在a處看燈塔c在貨輪的北偏西30°，距離為8 nmile，貨輪由a處向正北航行到d處時，再看燈塔b在北偏東120°，求：
(1)a處與d處的距離；
(2)燈塔c與d處的距離．
解 (1)在△abd中，∠adb＝60°，b＝45°，ab＝12，由正弦定理，得ad＝＝＝24(nmile)．
(2)在△adc中，由餘弦定理，得
cd2＝ad2＋ac2－2ad·ac·cos30°.
解得cd＝8 (nmile)．
∴a處與d處的距離為24 nmile，燈塔c與d處的距離為8 nmile.
20．(12分)已知△abc的角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，設向量m＝(a，b)，n＝(sinb，sina)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求證：△abc為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長c＝2，角c＝，求△abc的面積．
解 (1)證明：∵m∥n，∴asina＝bsinb.
由正弦定得知，sina＝，sinb＝(其中r為△abc外接圓的半徑)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△abc為等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由餘弦定理c2＝a2＋b2－2abcosc得
4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(捨去)．
∴△abc的面積s＝absinc＝×4×sin＝.
21．(12分)在△abc中，已知內角a＝，邊bc＝2，設內角b＝x，周長為y.
(1)求函式y＝f(x)的解析式和定義域；
(2)求y的最大值．
解 (1)△abc的內角和a＋b＋c＝π，由a＝，b>0，c>0，得0ac＝·sinb＝·sinx＝4sinx.
ab＝sinc＝4sin.
∵y＝ab＋bc＋ca，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2
＝4sin(x＋)＋2.
∵∴當x＋＝，即x＝時，y取得最大值6.
22．(12分)△abc中，a，b，c所對的邊分別為a，b，c，tanc＝，sin(b－a)＝cosc.
(1)求a，c；
(2)若s△abc＝3＋，求a，c.
解 (1)因為tanc＝，
即＝，所以sinccosa＋sinccosb＝coscsina＋coscsinb，
即sinccosa－coscsina＝coscsinb－sinccosb，得sin(c－a)＝sin(b－c)．
所以c－a＝b－c，或c－a＝π－(b－c)(不成立)，
即2c＝a＋b，得c＝，所以b＋a＝.
又因為sin(b－a)＝cosc＝，
則b－a＝，或b－a＝(捨去)．
得a＝，b＝.
所以a＝，c＝.
(2)s△abc＝acsinb＝ac＝3＋，
又＝，即＝.
得a＝2，c＝2.
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