第三章分式
能力提高講義
◆要點1 分式的概念、有無意義或等於零的條件
(1) 概念：形如，且a、b為整式，b中含字母。
(2) 分式有意義的條件：分母不等於零；
(3) 分式無意義的條件：分母等於零；
(4) 分式值為零的條件：分子等於零且分母不等於零。（在分式有意義的前提下，才可討論分式值為零）
★說明：(1) 分式中的分母必須含有字母，但作為分子的整式不一定含有字母；(2) 分式值為零，則分子為零，分母不為零。二者缺一不可；(3) 分式無意義，則分母為零。
◆要點2 分式的基本性質、約分、最簡分式
基本性質：分式的分子和分母都乘以（或除以）同乙個不等於零的整式，分式的值不變，符號表示：
其中a，b，m 是整式，且m≠0)。
約分：把乙個分式的分子和分母的公因式約去的變形，稱為約分。
★說明：(1) 約分的依據是分式的基本性質；(2) 如果分式的分子和分母是多項式，要先對多項式分解因式，然後再約分；(3) 約分一定要徹底，化成最簡分式(在分式化簡結果中，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式.).
◆要點1 分式的乘除法
分式的乘法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。
分式的除法法則：兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置後再與被除式相乘。
分式的乘方：分式的乘方，等於把分子和分母分別乘方，式子表示為：（n為正整數）。
★說明：(1) 當分式的分子，分母為多項式時，要先分解因式，再進行分式的乘除運算；(2) 進行分式的乘除混合運算時，一定要按從左到右的順序進行；(3) 分式乘除運算的結果必須為最簡分式或整式，並注意其結果的正負性。
◆要點2 分式的加減法則
(1) 同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，最後化簡為最簡分式。
(2) 異分母分式相加減，先通分（確定分式的最簡公分母），然後再按同分母分式相加減的法則進行。
★說明：a. 通分時先找出各分母的最簡公分母（各分母所有因式的最高次冪的積），然後再利用分式的基本性質，注意分子不要漏乘；；b.
當分母是多項式時，一般應先分解因式，當某個分母的係數不是整數時，應先將其化為整數。c. 在處理分子、分母符號變化問題時，要考慮分子、分母的整體性。
◆要點3 分式的加、減、乘、除混合運算
分式的加、減、乘、除混合運算也是先進行乘、除運算，再進行加、減運算，遇到括號，先算括號內的。
◆要點4 分式運算的實際應用
◆要點1 分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
◆要點2 分式方程的解法
(1) 解分式方程的根本思想是將分式方程通過去分母轉化為整式方程。解分式方程的一半步驟是：
a. 在方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；
b. 解這個整式方程；
c. 驗根。
(2) 增根是分式方程變形後的整式方程的根，它使原分式方程的分母為零，即原分式方程無意義，所以它不是原分式方程的根，故稱它為原分式方程的增根。關鍵是要把握兩點：一是用去分母的方法將分式方程化為整式方程；二是用換元的方法將分式方程化為整式方程。
★說明： (1) 一元一次方程是整式方程，整式方程與分式方程的根本區別在於分母中是否含有未知數；(2) 增根產生的原因是同乘以最簡公分母後，分式方程化為整式方程，使未知數的範圍擴大了；(3)可以這樣理解增根：若原方程只有這個增根，說明原方程無解；若原方程另有能使這個方程成立的根，說明原方程的根為另外的根（不包括這個增根）。
◆要點3 分式方程的應用
分式方程的應用就是列分式方程解應用題，它與列一元一次方程解應用題的基本思路和解題方法是一樣的。不同的是前者數與數的關係是分式，後者數與數的關係為整式。
(1) 審題，了解已知量和未知量；(2) 設未知數；(3) 找出相等關係，列出分式方程；(4)解分式方程；(5) 檢驗，看方程的根是否滿足方程和符合題意；(6) 寫出答案。
(1)解分式方程不檢驗;(2) 驗根方法錯誤，將所求到的根只代入化為整式的方程中，而不是代入最簡公分母或原方程的各個分母中；(3) 認為增根也是原方程的根。
分式的考點：
考點一：分式的基本概念
考點二：分式的運算：結合換元法、配方法、拆項法、因式分解等方法簡化分式運算
考點三：分式方程的解法：分式方程的特殊解法：換元法、拆項法；
考點四：分式方程的應用
例題精講：
例1、(1) 當x取何值時，分式無意義？
(2) 當x取何值時，分式有意義？
(3) 當x取何值時，分式值為零？
例2、已知，求的值.
例3、計算(1)；
例4、已知與互為相反數，求的值；
變形1 已知a2＋2a－1＝0，求的值。
變形2 已知，求分式的值。
例5、m為何值時，關於x的方程會產生增根？
變形1 若分式方程有增根，則增根是（ ）
a. x＝1 b. x＝1和x＝0 c. x＝0 d. 無法確定
變形2 若關於x的方程有增根，求k的值。
例6、已知某項工程由甲、乙兩隊合作12天完成，共需工程費用13800元，乙隊單獨完成這項工程所需時間比甲隊單獨完成這項工程所需時間的2倍少10天，且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元。
(1) 甲乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天？
(2) 若工程管理部門決定從這兩隊中選乙個隊單獨完成此項工程，從節約資金的角度考慮，應該選擇哪隊？請說明理由。
強化訓練：
一、填空題
1、已知x為整數，且為整數，則所有符合條件的x的值的和是
2、觀察下列各式：
，；；……想一想，什麼樣的兩數之積等於這兩數之和？設n表示正整數，用關於n的等式表示這個規律為
3、已知ax=3,則的值是
4、已知有意義，則x的取值範圍是
5、6、若分式方程無解，則m的值為 .
二、選擇題
1、小紅把分式中的x、y的值都擴大2倍，卻搞不清分式的值有什麼變化，請幫他選出正確的答案（ ）
a．不變 b．擴大2倍 c．擴大4倍 d．縮小一半
2、已知有理數a、b滿足ab＝1，若，
則m，n 的大小關係為（ ）
a. m＞n b. m＝n c. m＜n d. 無法確定
3、關於方程的根的情況，說法正確的是（ ）
a. 0是它的增根 b. －1是它的增根 c. 原分式方程無解 d. 1是它的根
4、下列分式一定有意義的是（ ）
a. b. c. d.
5、某人騎電單車從甲地出發去90km的乙地執行任務，出發1 h 後發現按原來的速度前進要遲到半小時，於是將車速增加1倍恰好準時到達，設電單車原來的速度為x km/h，可列出方程（ ）
a. b.
c. d.
三、解答題
1、若，試判斷是否有意義。
2、解方程：
3、一列火車從車站開出，預計行程450千公尺，當它開出3小時後，因特殊任務多停一站，耽誤30分鐘，後來把速度提高了0.2倍，結果準時到達目的地，求這列火車的速度。
4、已知，試用含x的代數式表示y，並證明。
5、（1）觀察下列各式：
；；；……
由此可推斷
（2）請猜想能表示（1）的特點的一般規律，用含字m的等式表示出來，並證明（m表示整數）
（3）請用（2）中的規律計算
6、觀察以下式子：
請你猜想，將乙個正分數的分子分母同時加上乙個正數，這個分數的變化情況，並證明你的結論。
分式提高卷
分式 章節測試卷提高卷 本卷滿分 120分 一 填空題 每空2分，共26 1 若分式的值為0，則x的值為 當x 時，分式沒有意義 2 當x2x 3與的值互為倒數 3 寫出乙個含有字母x的分式 要求 不論x取任何實數，該分式都有意義 4.若x 1,則x x 1 5.某農場原計畫用m天完成a公頃的播種任...
分式提高提
1 已知，其中a b為常數，求4a b的值。變式1 已知，其中a b c為常數，求a b c的值。2 分類討論，若 為非零實數，且，試求的值。變式2 要使分式有意義，求x的取值範圍。3 整體帶入，若是方程的根，求的值。變式3 1 設，求的值。2 若，求的值。4 當整數取何值時，分式的值是整數。變式4...
分式方程的講義 二
知識點分析 1 分式方程及解分式方程。2 分式方程的增根以及無解。3 分式方程的應用。例題講解 1 2011陝西 解分式方程 2 2012陝西 化簡 3 已知 求整式a和整式b。4 若5 已知，求的值。7.分式方程有增根，則 8 關於x的分式方程有增根x 2，則k的值是 9 若關於x的分式方程無解，...