劉加霞在小學階段, 兒童掌握分數的概念感覺並不太難, 但奇怪的是, 為什麼常常有中學生還不理解分數:1/2+1/3 為什麼不等於2/5 呢? 為什麼除以乙個分數等於乘這個分數的倒數呢?
為什麼分子、分母同時乘以(或除以) 同乙個不等於 0 的數分數的大小不變? 事實上, 真正理解分數絕不是那麼簡單, 因為對分數應有多維、多元的理解。
一、作為「行為的分數」還是「定義的分數」
一對對的數, 例如 12 、52 等, 或者短語「二分之一」「五分之二」等並不是分數, 它只是代表分數概念的符號或者語言。一般說來, 學習分數不能直接從這些符號入手, 而是從分數的產生入手。即理解分數首先是從行為( 平均分物體) 入手, 而不是從定義(形如 b/a 的數, a≠0)入手。
只有學生經歷並體驗了把乙個整體平均分為幾個部分, 所關注的部分與整體之間的關係可以用乙個新的數來表示之後, 才可以給出分數的符號表示, 並建立行為與符號之間的一一對應關係。只有經歷這樣的過程, 學生才能逐步地理解分數概念。即學生理解分數是從行為開始的, 這時, 是從率的角度來理解分數。
從行為的角度看, 除了從平均分認識分數外, 測量也是認識分數的重要途徑。我們知道, 自然數主要用於數個數, 即數離散的量的個數,當測量連續的量(例如物體的長度)時, 首先需要選定度量單位, 數被測量物體中包含多少個度量單位。一般情況下, 我們不能數盡, 為了得到更準確的值, 我們把原來的度量單位分割為更小的度量單位 (一般情況下是平均分為十等份, 以其中的乙份作為新的度量單位), 再以更小的度量單位來測量以得到更精確的結果。
這時, 就可以用分數來表示測量的結果 (用不同的單位表示), 只不過此時得到的分數不是一般的分數, 而是特殊的十進分數, 即小數。這是從度量的角度理解分數。度量產生的不是一般的分數, 一般的分數產生於解方程或除法運算的結果。
二、借助於多種直觀模型理解分數的含義
在小學階段主要學習「行為的分數」。教材中往往以學生熟悉的日常事物與活動為模型, 建立分數的概念。例如把乙個月餅平均分為兩份, 其中的乙份是 1/2 , 把一張紙平均分為四份, 其中的乙份是 1/4 。
這僅僅是從面積模型的角度來理解分數, 學生理解分數可以借助於多種模型。
1.分數的面積模型: 用面積的「部分——整體」表示分數。
兒童最早接觸分數概念及其術語可能與空間有關, 而且更多是三維的, 而不是二維的, 例如半杯牛奶、半個蘋果……
兒童最早是通過 「部分——整體」來認識分數。因此在教材中分數概念的引入是通過平均分某個正方形或者圓, 取其中的乙份或幾份( 塗上陰影)認識分數的, 這些直觀模型即為分數的面積模型。
對於平均分, 兒童有豐富的經驗。皮亞傑等的實驗發現: 一些學生能成功地把紙張或扁平泥塊通過對折進行剪下或切割。
例如: 4￣4.5 歲的兒童能把小的規則圖形分成兩半; 6￣7 歲的兒童能把小的規則圖形進行三等分; 7￣9 歲的兒童能把小的規則圖形通過試錯進行六等分; 10 歲的兒童能把小的規則圖形較精確地進行六等分, 如先對半分,再三等分。
兒童這些豐富的經驗為他們認識分數的面積模型, 或者從「部分——整體」的角度認識分數打下了堅實的基礎。
對於分數的面積模型, 在學習過程中學生經常會遇到一些困難,例如:
(1)能否認識到圖形面積相等的必要性, 即「整體 1」是否一樣大。
(2)是否習慣於由圖形語言到符號語言表達的轉換。學生初步學習分數時對, 分數的特有表示方法不能立即掌握, 需要有熟悉、習慣的過程。
(3)理解大於「整體 1」的分數。
(4) 從表示多於乙個「整體」的圖形中確定誰作為「整體」。
例如, 對於下面圖形, 學生的回答往往是 6/8 , 而不是 6/4 。
這時用面積模型認識分數就帶來了困難, 分數被理解為表示「單位面積」( 關鍵是哪部分是 「單位面積」) 的子面積, 被理解為整體的一部分, 這就為兒童理解假分數帶來了困難。
2.分數的集合模型: 用集合的「子集——全集」來表示分數。
這也是「部分——整體」的一種形式, 與分數的面積模型聯絡密切,甚至幾乎沒有區別, 但學生在理解上難度更大。關鍵是「整體 1」不再真正是「乙個整體」了, 而是把幾個物體看做「乙個整體」, 作為乙個「單位」, 所取的乙份也不是乙個, 可能是幾個作為乙份。例如, 在下圖中,深色長條佔全部長條的 3/5 。
分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力, 其核心是把多個物體看做「整體 1」。
分數的集合模型的優點是有利於用比較抽象的數值形式表示「比」與「百分比」。這時, 我們把分數看做是運算元, 即把分數看做是乙個對映。例如, 下面深色長條與無色長條之比為 3∶2, 或者寫為 3/2 。
有研究者認為: 學生對離散量的集合的「部分——整體」的理解, 不如對「面積模型」的理解, 但隨著學生年齡的增長, 認知水平的提高, 這種差別並不明顯。
分數的集合模型的缺點仍然是容易對假分數產生誤解, 這與面積模型的問題完全一樣: 誰作為「整體1」, 這既是認識分數的乙個核心, 同時也是乙個難點。 總結出「整體 1」可以分為以下六種情況(以 1/5 為例):
(1)1 個物體, 例如 1 個圓形,平均分為 5 份, 取其中的 1 份。
(2)5 個物體, 例如 5 塊糖, 其中的 1 塊佔 5 塊的 15 。
(3)5 個以上但是 5 的倍數, 例如 15 塊糖, 平均分為 5 份, 取其中的 1 份。
(4)比 1 個多但比 5 個少, 例如 2塊巧克力作為「整體」。
(5)比 5 個多但不能被 5 整除,例如 7 根香蕉作為「整體」。
(6)乙個單獨物體的一部分的1/5 , 例如 1 公尺的 3/4 的1/5 。
上述六種情況不可能讓學生同時學習, 但學生逐步地經歷這些「情境」對學習分數是非常必要的, 尤其是(1)(2)(3)這三種情境。(4)(5)兩種情境對於學生進一步理解分數與除法的關係非常必要, 情境(6)對於學生理解分數乘分數則是很好的模型。
3.分數的數線模型: 數線上的點表示分數。
分數的數線模型就是用數線上的點表示分數。它把分數化歸為抽象的數, 而不是具體的事物, 對這個模型的理解需要學生有更高水平的抽象能力, 甚至有的初中學生對用分數表示點仍然感到困難。
分數的數線模型與分數的面積模型有著密切的聯絡: 乙個分數可以表示單位面積的一部分, 也可表示「單位長度的一部分。前者是二維的, 後者是線性的, 是一維的。
作為數線模型的數軸的前身,是數軸的區域性放大和特殊化, 是用點來刻畫分數。
4.分數與除法、比的關係。
對分數的另一種理解是把分數與除法聯絡起來: 3/7被解釋為 7 個人平均分 3 個東西。分數是除法運算的結果, 但事實上, 小學生對此並不理解, 其典型表現就是在解決實際問題或者解方程時, 當結果為分數時, 有很多學生認為「還沒有計算完」, 一直要把分數再化為小數為止。
分數與除法的互相轉化有重要的應用: 把分數化為小數或百分數。
當刻畫兩個量的數量關係時,我們經常用比, 例如, 下圖中 a 與 b的點數之比是 3∶5, 也可以記作 3/5 ,其比值則是 3 除以 5 的結果即為3/5 , 小學生更習慣於寫作 0.6。
從上述分析中可以看出, 我們對分數的理解可以從多個角度, 借助於多個直觀模型, 其抽象水平越來越高, 因此在分數的教學設計時要注意:
(1)提供多樣的模型: 提供多種不同的實物模型, 在分割中使兒童逐步體驗分數的解釋的多樣性與表示法的多樣性。
(2) 把握抽象水平: 精心設計,精心控制, 逐步提公升兒童對分數的理解水平。
分數的每一種解釋都與某一特殊的認知結構有關, 如果忽略了其中某一必要的認知結構, 可能導致兒童缺乏關於分數某些方面的理解, 有的兒童可能對於日常生活中分數的某些應用有很好的理解,但換一種情境就感到困難。例如,他們能把 3 公尺長的木條等分成 5段, 並取其中 3 段, 每段為 60 厘公尺。但他們卻不理解:
3÷5=0.6。
(3) 學生對分數的抽象理解過早或過晚都不利於學生的發展。學生對分數的不同理解存在顯著的個體差異, 有些學生很早就能在抽象水平理解分數, 而另一些則需要等待很長的時間。為此, 一開始就要利用不同的實物模型, 從平均分中, 幫助學生體驗分數含義的多重性和複雜性。
三、作為「定義的分數」
小學階段所理解的主要是「行為的分數」, 即借助於大量的操作活動, 例如分一分、畫一畫等活動來理解分數的意義。作為「定義的分數」學生是否能夠理解呢?在教學中如何運用?
作為「定義的分數」就是將分數定義為「形如 b/a(a≠0) 的數, 就叫分數」, 不考慮其現實意義, 只是從形式上給出描述, 即分數是由一對數對決定的,有乙個數對就有唯一乙個分數和它對應。
在小學的高年級, 在學生掌握了分數的現實意義後, 定義的分數學生也可以解。下面舉一例子:構造分數表。
由於把分數看做一對數對, 由此我們可以在直角座標系內將所有的分數一一排列出來: 以橫軸上的自然數做分母, 縱軸上的自然數做分子, 就可以將所有的分數一一排列, 形成分數表。
而這張分數表具有很多優美的特點:
任何乙個分數都能在這張表中找到。
從左下方到右上方的主對角線上的數都是「1」。
這條對角線下方的都是真分數, 上方的都是假分數, 並且有一一對應關係, 例如 3/2 與 3/2 , 其位置也是對稱地分布在這條主對角線的兩側。
……當學生跳出分數的現實意義(即跳出「行為的分數」), 而從形式上來領略分數, 不正好能進一步感受數學的神奇魅力嗎?數學不也走了兩條不同的發展道路( 水平數學化與垂直數學化) 嗎? 從兩條道路上來理解數學、欣賞數學應該是數學教學的本真追求!
話說分數(上)
德國數學家克羅內克有一句名言: 「上帝創造了自然數, 其餘都是人造的。」人類從蠻荒時代開始結繩記數。
隨著分配獵獲物的需要, 數的加減乘除也很「自然」地開始使用,於是有了自然數。後來因減法的需要出現了負數, 因除法的封閉性引入分數, 更因開方的通行無阻出現實數和複數, 這些就都不是「自然」的了。
「分數的意義」教學設計及反思
教學內容 人教版九義教材小學數學五年級下冊 分數的意義 85 89頁。教學目標 1 知識目標 理解分數的意義及單位 1 的含義，並進一步掌握分子 分母的含義 2 能力目標 1 通過操作 歸納 整理 概括出分數的意義，培養學生分析 概括能力。2 通過動手 折一折 畫一畫 等實踐活動滲透認識 於實踐的思...
《分數的再認識》教學實錄及教學反思
執教者 東山實小曾曉嫻 教學目標 1 知識與技能 在具體情境中，進一步認識分數，能正確用分數描述圖形或簡單的生活現象。2 過程與方法 在解決問題的活動中，學會與他人合作。能表達解決問題的過程，並解釋所得結果。3 情感態度與價值觀 體驗數學與日常生活密切相關。教具準備 兩盒數量不同的筆 實物投影。教學...
分數的初步認識教學設計及反思
梧田三小周蘭芬 教學理念 在情境創設中，讓學生通過自主學習 交通合作 動手實踐理解幾分之一 通過課堂的預設，合理利用生成的資源，引導學生對分數形成正確的認識。教學目標 1 體驗平均分 初步理解幾分之一。2 比較分子是1的分數的大小。3 在動手操作 觀察比較中，培養學生的數學自主學習能力和數學思考能力...