國防科技大學唐晉韜楊國強江海燕（女）
問題的重述
安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方, 其開口半徑36公釐，深度21.6公釐。經過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。
要求在某一設計規範標準下確定線光源的長度。
該設計規範在簡化後可描述如下。在焦點f正前方25公尺處的a點放置一測試屏，屏與fa垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過a點引出一條與地面相平行的直線，在該直線a點的同側取b點和c點，使ac=2ab=2.
6公尺。要求c點的光強度不小於某一額定值（可取為1個單位），b點的光強度不小於該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。
（1）在滿足該設計規範的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小。
（2）對得到的線光源長度，在有標尺的座標系中畫出測試屏上反射光的亮區。
（3）討論該設計規範的合理性。
基本假設
1、旋轉拋物面反射係數為1，無反射衰減
2、線光源上每個點的發光強度相同，功率相同
3、不考慮光在傳播過程中的干涉等其他現象
4、燈絲所用材料為當前汽車前照燈一般所使用的材料，即鹵素鎢絲燈，其發
光效率約為20流明/瓦
符號說明
η：點光源的發光效率，為一常數
點光源i發射的光線在b點產生的光強
ф：點光源發射的光通量
p: 單位長度線光源的功率
p: 線光源的功率
i: 點光源的發光強度
l: 線光源的長度
ɑ： 光線與測試屏的夾角
1． 線光源的功率
由於線光源是均勻分布的，因此我們將其看成由許多功率相同的點光源組成。那麼可將線光源分為若干個長度為的小段，每段視為乙個點光源。假設單位長度線光源的功率為p，則每個點光源的功率為,由此可得：
線光源的功率：。
2． 點光源i在某點b附近產生的光照度
某點的光照度與射到這點附近單位面積上的光通量數值成正比，即:
而點光源單位時間內發射的總光通量為，故其發光強度
容易匯出從點光源i發出立體角為的光束以角度射到與其距離為r的一點b附近產生光斑的面積為:
由此可知點光源在與其距離為r的表面產生的光照度是
即: 3． 測試屏上任意一點b的光強
對於點光源發射的光線經過旋轉拋物面反射後到達測試屏的情況，因為不考慮反射衰減，所以我們可將其看作是這個點所成的虛像發射的光線。同樣可以用上面給出的光照度公式進行計算。
。則b點的光強為線光源上所有點對其產生的光照度的疊加。有
因此我們可以建立單目標優化模型如下：
模型的求解
將b點的光強公式進行如下變形：
可以看出b點的光強是線光源上所有的點光源直射光產生的照度的積分及放射光產生的照度的積分之和。因此我們可分別求出所有點光源的直射光和所有點光源的反射光對測試屏上任一點的照度產生的影響，然後將它們進行疊加，就得到線光源對測試屏一點的照度的影響。
（1）直射光的處理
對於直射光，由於點光源的位置確定，因此可用上面推導的光強計算公式算出在測試屏上直射產生的光強，即那麼線光源所有的直射光對測試屏上某點b產生的照度為，對於這個積分的計算，我們可以取乙個較小的，將線光源分為n=段，將每段視為乙個點光源，然後用求出它在b點產生的光強，再將這n個光強疊加，就得到了線光源直射光在這點產生的光強。
由此可以得到線光源在測試屏上的直射光光強分布
（2）反射光的處理
對於反射光，由於我們不知道點光源所成虛像的位置，因此反射光在b、c兩點的入射角度及虛像與b、c兩點的距離都不容易求，這樣用平方反比定律求
光照度不是很方便。因此我們用光通轉移法求解反射光對b、c兩點的光照度
光通轉移法的原理（如圖一）是基於照射到一塊反射面上的光通量，在不考慮反射損耗的話，將完全照射到所對應的測試屏上。由此我們可以算出照射到測試屏上的光通量為：
其中入射線與面元法線的夾角
入射線與光軸的夾角的變化量
拋物線旋轉角度的變化量
那麼照射到測試屏上的照度
（s是測試屏上對應的面積）
由照度計算公式，對於給定位置的點光源，我們以較小的步長變化ɑ、θ，就可以得到測試屏上對應區間的光照度分布。取乙個較小的，將線光源分為n=段，每段可視為乙個點光源，然後用求出它在測試屏上產生的光強分布，將這n個點光源的光強分布疊加，就近似得到線光源反射光在測試屏產生的光強分布。
（3）對問題一的求解
問題一要求對於測試屏上指定位置的兩點b、c，點c的光強不小於某個額定值，點b的光強不小於這個額定值的兩倍，求滿足要求的功率最小的線光源的長度。
假設額定值為1坎德拉。對於長度為l的線光源，若要b、c點滿足要求，則每個點光源的總光通量必須大於某個值。
由上面的推導，我們可以算出線光源在b點和c點產生的光強，，而，。有這兩個不等式我們就可以求出該長度下每個點光源最少應產生的光通量，從而得到單位長度功率的最小值。由此得到該線光源的最小功率
於是我們可以通過改變l的大小來搜尋線光源功率的最小值。因為過焦點的線光源的最長長度為60mm，所以我們以0.1mm為步長讓l的值從0.
1mm增加到60mm，計算不同長度下的最小功率值，其中最小的那個功率值為問題的解計算機搜尋出l=3.7mm，線光源的功率最小。
此時c點的光強為：1cd
b點的光強為：2.0454cd
線光源功率隨長度的變化關係圖
（4）對問題二的求解
由第一問得到的燈絲長度為3.7mm,將這段燈絲分成長度為的若干小段,每段可視為乙個點光源。
因為是求反射線的亮區，所以我們只需考慮與旋轉拋物面相交的發射光線對於給定座標的點光源，我們可以以一定步長遍歷拋物面上的點，對於拋物面上的任意乙個點，我們可以推導出點光源經過該點的反射光線方程（推導過程見附錄），於是可以求出反射光線與測試屏的交點，知道每條入射光線反射後射到測試屏的位置，我們就可以用光通轉移法求出點光源的反射光線在測試屏這個小區間上產生的光強，然後對所有點光源產生的光強進行疊加，得到測試屏上的反射光光強分布圖如下：
25公尺測試屏上光強分布圖
25公尺測試屏上等照度圖
可以看出，反射光的亮區是乙個中心軸對稱圖形，亮區在乙個長為7.2公尺，寬為2公尺的矩形區域內。
(5) 對規範合理性的討論
題目中所給的設計規範是有一定物理意義的。首先，之所以把測試屏置於距離焦點25公尺處，是因為司機需要一定時間辨別行車路線、方向以及車輛前方的障礙物等，照亮25公尺的距離可以給司機一定反應時間。其次，在測試屏上距離主光軸1.
3公尺和2.6公尺處設定測試點，是根據一般車寬和路面的寬度進行設計的，在這個寬度範圍內車燈可以照亮足夠的區域供司機看清路面上的物體。
對於該設計規範的合理性，我們可以從以下幾個方面考慮：
1. 前照燈的發光強度
根據該設計規範要求，可以算出滿足規範的燈絲的最小功率，那麼就可以求出燈絲在最小功率下的發光強度。根據中國汽車配光標準，汽車遠光燈的發光強度不能低於12000cd。在該規範下，我們計算出燈絲最小的發光強度約為13500cd ，符合實際要求。
2. 前照燈的聚光性
遠光燈要求將光源輻射的光通匯聚於有限的立體角內，從而建立起很高的發光強度，使得光束能夠照亮較遠的區域，同時對光型分布也有要求，我們將問題二所得到的在測試屏上的反射亮區與直射光光型分不相疊加，就得到滿足該設計規範的光型分布圖，將這個分布圖與ece標準的光型分布圖相比較，並計算規定的特殊點的發光強度，我們可以發現，在該設計規範下得到的光型分布圖匯聚性較好，有明顯的截止線。但是照度最大值出現的位置不同，水平擴充套件度也不夠，但這有可能是旋轉拋物面結構比標準要求的曲面要簡單即模型過於理想化而引起的，不能由此得到設計規範不合理的結論.
3. 反射光照射區域的合理性
我們給出的反射光亮區是乙個車前燈的情況，而汽車有兩個車前燈，那麼兩個車前燈的照射區域是否合理呢？我們取兩個車燈間隔2公尺，求其在25公尺測試屏出產生的亮區，得到強度分布圖如下：
觀察該圖我們可以看出：在汽車正前方亮度比較大，這對應著該車燈能夠較好的照亮正前方較遠的距離，而亮區具有較大的寬度，說明車燈能夠照亮路邊一段區域，司機可以看到路邊的情況，亮區高度較小，說明其向上射的光線仰射角較小，不會讓對面的司機產生炫目感。因此，反射光照射區域是合理的
4．線光源放置位置的合理性
我們考察當線光源位置離開焦點時的情況，不妨將線光源沿光軸向兩側移動，觀察測試屏上亮區的範圍。
光源沿光軸向內平移
可以發現，當光源位置沿主光軸方向偏離焦點時，中心亮度會急劇下降，這勢必導致在距離車前方較近的區域內司機反而看不清目標，這樣車燈則失去了意義。
當我們將線光源分別沿所在直線方向或上下移動時，會得到類似的結論。
因此，只有當光源對稱地位於拋物面焦點處時，主光軸上的中心亮度才會達到最大，才可以照亮一定範圍內的所有區域，而不會出現任何暗區。
模型的進一步討論
1．在本模型中，我們認為燈絲的發光強度是均勻分布的，但在實際中燈絲的溫度是兩端低中間高，因此它的光強也應是兩端弱中間強，我們可認為溫度的分布近似是乙個等腰三角形，如下圖所示。
因此將線光源分段後，我們不能把每段光源視為功率相同，而要根據它的發光強度來計算其功率，然後去計算它在測試屏上的光強分布。
2．在計算光線經過旋轉拋物面反射時，為了計算方便我們令反射係數為1，在實際中這是不可能達到的，因此反射光線的光強還要乘以乙個小於1的反射係數才合乎實際。
3．在反射時本模型考慮的是乙個連續的完整的旋轉拋物面，而實際上為了安置燈泡，拋物面的頂點附近一塊區域是被截去了的，光線照射到這個區域是不能被反射出去的，因此，實際的光強分布圖的中心區域的亮度比理想情況要小，這是我們模型求出的光強分布圖裡沒能體現的。
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