我們討論的導數問題。實際計算及討論函式在具體某點的導數值。
我們自然想到微積分中的導數定義：
用作為的近似。
理論上這種近似，h越小越好，但實際計算相近的數相減會損失有效數字，實際計算中要注意這些問題。
二階導數的三點公式：
精度高乙個量級
往往利用插值方法先求出插值函式，在對函式求導，用之代替原函式的導數。
數值積分我們也曾這樣做。
本章我們主要解決初值問題的數值解法。即：
數值解就是要求出在
一系列點上的近似值
。假設在所討論問題中連續。由leibniz公式（或對方程積分）有：
依據上式可得到不同的數值解法。
§1 尤拉法和改進尤拉法、預估-校正法
由積分可用左矩形公式，得：
顯式用右矩形公式，得：
隱式梯形公式，得：
改進尤拉公式
精度比上兩個高乙個量級。
隱式和改進尤拉法都是乙個方程。如果方程解時比較複雜，則用迭代發近似求解。
先用顯式尤拉公式計算初值，再用改進尤拉公式迭代求解。
（數學證明當在所討論的範圍有界在h取得很小時，這種迭代收斂）。
公式為:
程式結構：
f(x,y)=y*y
write(*,*) 'input x0,y0'
read(*,*) x0,y0
write(*,*) 'input [x0，b] b'
read(*,*) b
write(*,*) 'input h'
read(*,*)h
y=y0
f0=f(x0,y0)
do 100 x=x0, b, h
k1=k2=k3=
k4=y=y+
y=y0+h*f0
do 200 k=1,10
y=y0+h/2.0*(f0+f(x,y))
200 continue
write (*,*) x+h,y, 1.0/(1-x-h)
y0=y
f0=f(x,y)
100 continue
stop
end注意：所計算的範圍必須是從x0到某值b。因為是逐點遞推的。
當計算範圍為[b，x0]時，步長h取負值。
作業：數值解初值問題：
用改進公式解方程，並和精確解作圖比較。
注意：本題中x的取值範圍不能接近1，為什麼？
將方程換成，精確解為計算[-2，2]間曲線
將方程換成，精確解為計算[-2，2]間曲線
改進尤拉法在判斷迭代收斂時很不好求（為什麼？未知！）。
往往計算中用預估-校正法，公式如下：
左矩形預估
右矩形校正§2 龍格-庫塔法（runge-kutta）
尤拉法計算簡單，精度不高。
預估校正法可寫為：
將上式加以推廣
**為待定係數，當時就是預估-校正法。
我們現在要選取上面的三個係數，使得上式的誤差為。
我們將在展開：
****
其中：另一方面，將 **式中的在已知點展開
二元函式展開
帶入**式得：[, , , , , , , , ]
與****式比較
****
我們取時** 式的誤差為
三個未知數兩個方程，所以具體的取法很多。
當時，就是尤拉預估-校正法。
另乙個常取，此時公式為：
中點公式
以上是二階龍格-庫塔公式，按照相似的方法做出三階公式
%%%為待定係數，選取這五個係數，可使得上式的誤差為。
方法和前面一樣，將在展開到三次項；
同時將%%%式也展開到三次項；
在比較對應項的係數。
最後可得
六個未知數，四個方程，常取如下兩個公式：
四階公式
上式為古典龍格庫塔公式，最常用
程式很簡單。
寫時如果要用k作變數，將其定義成實型。
作業1、將尤拉改進法程式改為四階古典龍格庫塔法，並比較結果。
2、將以前的作業改成用龍格庫塔法來做。
3、考慮如下問題計算方法
4、自己選一系統（氫原子，線性諧振子，無限深勢阱。。。。。），設定某種圍繞，計算相關量子態機率隨時間變化，畫出曲線。注意：表示式並沒有考慮自發躍遷。
類似於：設有五位同學a1、a2、a3、a4、a5，開始a1有十萬元錢，其他人沒錢。沒人每天花費其所有的20%從其他四位同學那裡買東東（相當於圍繞矩陣元）。
計算五位同學擁有的錢數隨時間變化曲線。
§5.4含時間微擾理論
定態微擾理論不含時間，求下的定態近似波函式和能級
本節討論哈密算符含有與時間相關的微擾
即其中與時間無關，僅與時間有關，因含時，
求解體系的波函式要由含時的薛方程準確解出，通常時很困難的
含時間微擾理論，由的定態波函式近似地計算可以無微擾體系（）在微擾作用下由乙個量子態躍遷到另乙個量子態的躍遷機率。
設體系哈密頓算符
是微擾已精確求解，本徵函式
將按的定態波函式展開
[, ]
代入薛方程
t': 'span', 'c': '因為', 'r': 'r_32'}, ]
所以上式化為
以左乘上式兩邊，積分
其中上式給出了隨時間的變化規律
即給出了波函式
薛方程的另一種表示方式—矩陣表示
求解方程形式解 *
[, , ]
設微擾在時開始，且這時體系處於的第k個本徵態，則
即當時，
但很小時，或作用時間很短時，
t': 'span', 'c': '零級近似', 'r': 'r_13'}]
代入*得t': 'span', 'c': '一級近似', 'r': 'r_13'}]
在時刻體系處於態的機率，
即從初態躍遷到的機率
①一級近似，波函式用零級近似，積分中
②躍遷的機率
等於的機率
因 ③多次迭代精度更高，數值解最適於此類問題
[, ]如按能級
度簡併初態度簡併1 末能級簡併度則躍遷機率要對末態求和
②初能級簡併即度簡併
初未都簡併
八年級下第五章分式與分式方程
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