（數學教研組）
一、本章知識點梳理：
知識點1：二元一次方程（組）的定義知識點2：二元一次方程組的解定義
知識點3：二元一次方程組的解法知識點4：一次函式與二元一次方程（組）
知識點5：實際問題與二元一次方程組
二、各知識點分類講解
知識點1：二元一次方程（組）的定義
1、二元一次方程的概念
含有兩個未知數，且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程
注意：1、(1)方程中的元指的是未知數，即二元一次方程有且只有兩個未知數.
(2)含有未知數的項的次數都是1.
(3)二元一次方程的左右兩邊都必須是等式. （三個條件完全滿足的就是二元一次方程）
2.含有未知數的項的係數不等於零，且兩未知數的次數為1。 即若axm+byn=c是二元一次方程，則a≠0，b≠0且m=1,n=1
例1：已知（a－2）x－by|a|－1＝5是關於x、y 的二元一次方程，則a＝______，b＝_____．
例2：下列方程為二元一次方程的有_________
⑧，⑨【鞏固練習】
下列方程中是二元一次方程的是（ ）
a．3x-y2=0 b． +=1 c． -y=6 d．4xy=3
2、二元一次方程組的概念
由兩個二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組
注意：方程組中有且只有兩個未知數。方程組中含有未知數的項的次數為1。方程組中每個方程均為整式方程。
例：下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
a、【鞏固練習】
1、 已知下列方程組：（1），（2），（3），（4），
其中屬於二元一次方程組的個數為（ ）
a．1 b. 2 c． 3 d． 4
2、 若是關於x、y二元一次方程，則mn
知識點2：二元一次方程組的解定義
一般地，使二元一次方程組中兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做二元一次方程組的解。
型別題1 根據定義判斷
例：方程組的解是（ ）
a． b． c． d．
【鞏固練習】
1、 當，滿足方程，則
2、下面幾個陣列中，哪個是方程7x+2y=19的乙個解（ ）。
a、 b、 c、 d、
型別題2 已知方程組的解，而求待定係數。
此類題型只需將解代入到方程中，求出相應係數的值，從而求代數式的值
例1：已知是方程組的解，則m2－n2的值為
例2： 若滿足方程組的x、y的值相等，則k
【鞏固練習】
1、若方程組的解互為相反數，則k 的值為
2、若方程組與有相同的解，則ab
型別3 列方程組求待定字母係數是常用的解題方法．
例： 若，都是關於x、y的方程ax＋by＝6的解，則a＋b的值為
例： 關於x，y 的二元一次方程ax＋b＝y 的兩個解是，，則這個二元一次方程是
【鞏固練習】
如果是方程組的解，那麼，下列各式中成立的是 （ ）
a、a＋4c＝2b、4a＋c＝2 c、a＋4c＋2＝0 d、4a＋c＋2＝0
知識點3：二元一次方程組的解法
方法一：代入消元法
【典型例題】
例 我們通過代入消去乙個未知數，將方程組轉化為乙個一元一次方程來解，這種解法叫做代入消元法。
用代入消元法解二元一次方程組的步驟：
（1）從方程組中選取乙個係數比較簡單的方程，把其中的某乙個未知數用含另乙個未知數的式子表示出來.
（2）把（1）中所得的方程代入另乙個方程，消去乙個未知數.
（3）解所得到的一元一次方程，求得乙個未知數的值.
（4）把所求得的乙個未知數的值代入（1）中求得的方程，求出另乙個未知數的值，從而確定方程組的解.
【鞏固練習】
1、 方程用含y的代數式表示，x是（ ）
a． b． c． d．
2、 把方程寫成用含x的代數式表示y的形式，得（ ）
a．x=
3、 用代入法解方程組較為簡便的方法是（ ）
a．先把①變形b．先把②變形
c．可先把①變形，也可先把②變形 d．把①、②同時變形
方法二：加減消元法
例：對於方程組:
分析：這個方程組的兩個方程中，y的係數有什麼關係？利用這種關係你能發現新的消元方法嗎？
解：②－①得， 即,
把代入①得所以
定義：兩個二元一次方程中同一未知數的係數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加減，就能消去這個未知數，得到乙個一元一次方程這種方法叫做加減消元法 ，簡稱加減法。
例1、方程組中，n的係數的特點是所以我們只要將兩式就可以消去未知數，化成乙個一元一次方程，達到消元的目的．
例2、用加減法解時，將方程①兩邊乘以把方程②兩邊乘以可以比較簡便地消去未知數
【方法掌握要訣】
用加減法解二元一次方程組時，兩個方程中同乙個未知數的係數必須相同或互為相反數，即它們的絕對值相等．當未知數的係數的符號相同時，用兩式相減；當未知數的係數的符號相反時，用兩式相加。
①方程組的兩個方程中，如果同乙個未知數的係數既不互為相反數，又不相等，就用適當的整數乘方程兩邊，使乙個未知數的係數互為相反數或相等；
②把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去乙個未知數，得到乙個一元一次方程；
③解這個一元一次方程；
④將求出的未知數的值代入原方程組中的任意乙個方程中，求出另乙個未知數的值，從而得到方程組的解．
【鞏固練習】
1、 用加減法解方程組時，要使方程中同乙個未知數的係數相等或互為相反數，必須適當變形，以下四種變形正確的是（ ）
a．（1）（2） b．（2）（3） c．（3）（4） d．（4）（1）
2、 對於方程組而言，你能設法讓兩個方程中x的係數相等嗎？你的方法是若讓兩個方程中y的係數互為相反數，你的方法是
3、 用加減消元法解方程組正確的方法是（ ）
ab．cd．以下教科書中沒有的幾種解法 （可以作為培優學生的拓展）
(一)加減-代入混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2把y=2代入(3)得 x=1
所以:x=1,
y=2特點:兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元.
(二)換元法
例2， (x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為 m+n=8
m-n=4
解得m=6,
n=2所以x+5=6,
y-4=2
所以x=1,
y=6特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元後可簡化方程也是主要原因。
（三）另類換元
例3， x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t, y=4t
方程2可寫為：5t+6*4t=29
29t=29
t=1 所以x=1,y=4
知識點4：一次函式與二元一次方程（組）
從數的角度看
從形的角度看：
例1．已知二元一次方程 x＋y＝3 與 3x－y＝5 有一組公共解,那麼一次函式 y＝3－x 與 y＝3x－5 的圖象的交點座標為( )
a．(1,2) b．(2,1) c．(－1,2) d．(－2,1)
例2、二元一次方程2x＋y＝4有_______個解，以它的解為座標的點都在函式______的圖象上．
【鞏固練習】
1、已知點（3，－2）是兩直線y1＝－2x＋a與y2＝x＋b的交點，則a＝______ ，b＝______.
2、已知關於x，y的二元一次方程3ax＋2by＝0和5ax－3by＝19化成的兩個一次函式的圖象的交點座標為（1，－1），則ab
例3、如圖，直線l1：y＝x＋1與l2：y＝mx＋n相交於點p（1，b）．
（1）求b的值．
（2）不解關於x，y的方程組直接寫出它的解．
（3）直線l3：y＝nx＋m是否也經過點p？說明理由．
練習：在直角座標系中有兩條直線：和，它們的交點為p，第一條直線與x軸交於點a，第二條直線與x軸交於點b．
（1）求a，b兩點的座標．（2）求△pab的面積．
知識點5：實際問題與二元一次方程組
列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為「審、找、列、解、答」五步，即：
（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知數和未知數，並用字母表示其中的兩個未知數；
（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關係；
（3）列：根據這兩個相等關係列出必需的代數式，從而列出方程組；
（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；
（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.
列方程組解應用題中常用的基本等量關係
1.行程問題：
(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便於理解與分析。其等量關係式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程； ；；
(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。
這類問題的等量關係是：雙方所走的路程之和＝總路程。
(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順水速度；
船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；
順水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。
八年級第五章二元一次方程組知識點
二元一次方程組 知識點1 二元一次方程 組 的定義 1 二元一次方程的概念 含有兩個未知數，且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程 注意 1 1 方程中的元指的是未知數，即二元一次方程有且只有兩個未知數.2 含有未知數的項的次數都是1.3 二元一次方程的左右兩邊都必須是等式.三個條件完全...
第五章《二元一次方程組》水平測試
八年級數學 上 第二次月考試題 時間 100分鐘滿分 120分 班級 學號姓名 一 選一選，看完四個選項再做決定！每小題3分，共30分 1 下列不是二元一次方程組的是 a b c d 2 由，可以得到用表示的式子是 a b c d 3 方程組的解是 a b cd 4 方程是二元一次方程，則的取值為 ...
第五章二元一次方程組講義 1
例題講解 例1 若二元一次方程組有無陣列解，則k應滿足的條件是？變式一 已知 方程組的解是正整數，試求整數m的值。變式二 已知關於x y的方程組分別求出當a為何值時，方程組 1 有唯一一組解 2 無解 3 有無窮多組解 例2 已知方程組的解是x 3 y 2則關於x y的方程組的解是？變式一 已知方程...