豐台區2023年高三年級第二學期綜合練習（二） 2018.5
數學（理科）
第一部分 （選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知，，則
（2）設，為非零向量，則「與方向相同」是「」的
（3）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則的值為
（4）執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為
（5）在的展開式中，若二項式係數的和為32，則的係數為
（6）設下列函式的定義域為，則值域為的函式是
（7）已知滿足約束條件若目標函式的最大值是，則
（8）某遊戲開始時，有紅色精靈個，藍色精靈個．遊戲規則是：任意點選兩個精靈，若兩精靈同色，則合併成乙個紅色精靈，若兩精靈異色，則合併成乙個藍色精靈，當只剩乙個精靈時，遊戲結束．那麼遊戲結束時，剩下的精靈的顏色
第二部分 （非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）已知複數，則 ．
（10）已知等比數列中，，，則數列的前5項和 ．
（11）在極座標系中，如果直線與圓相切，那麼 ．
（12）甲乙兩地相距km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不能超過km/h．已知汽車每小時運輸成本為元，則全程運輸成本與速度的函式關係是 ，當汽車的行駛速度為 km/h時，全程運輸成本最小．
（13）若函式(，)的部分圖象如圖所示，
則（14）如圖，在矩形中，，，為邊的中點．將△沿翻折，得到四稜錐．設線段的中點為，在翻摺過程中，有下列三個命題：
① 總有平面；
② 三稜錐體積的最大值為；
③ 存在某個位置，使與所成的角為．
其中正確的命題是 ．（寫出所有正確命題的序號）
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（15）（本小題共13分）
如圖所示，在△中，是邊上的一點，且，，，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的長和△的面積．
（16）（本小題共13分）
某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的「實際平均續航里程數」，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的相關資料，得到他們的電動汽車的「實際平均續航里程數」．從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為a組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為b組，將他們的電動汽車的「實際平均續航里程數」整理成下圖，其中「+」表示a組的客戶，「⊙」表示b組的客戶．
注：「實際平均續航里程數」是指電動汽車的行駛總里程與充電次數的比值．
（ⅰ）記a，b兩組客戶的電動汽車的「實際平均續航里程數」的平均值分別為，，根據圖中資料，試比較，的大小（結論不要求證明）；
（ⅱ）從a，b兩組客戶中隨機抽取2位，求其中至少有一位是a組的客戶的概率；
（iii）如果客戶的電動汽車的「實際平均續航里程數」不小於350，那麼稱該客戶為「駕駛達人」．從a，b兩組客戶中，各隨機抽取1位，記「駕駛達人」的人數為，求隨機變數的分布列及其數學期望．
（17）（本小題共14分）
如圖所示，在三稜柱中，是中點，平面，平面與稜交於點，，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：；
（ⅲ）若與平面所成角的正弦值為，
求的值．
（18）（本小題共13分）
已知函式，，．
（ⅰ）當時，求的單調區間；
（ⅱ）求證：有且僅有乙個零點．
（19）（本小題共14分）
已知橢圓：的長軸長為，離心率為，過右焦點且不與座標軸垂直的直線與橢圓相交於，兩點，設點，記直線，的斜率分別為，．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）若，求的值．
（20）（本小題共13分）
已知數列的前項和為，，，當時， 其中，是數列的前項中的數對的個數，是數列的前項中的數對的個數．
（ⅰ）若，求，，的值；
（ⅱ）若為常數，求的取值範圍；
（ⅲ）若數列有最大項，寫出的取值範圍（結論不要求證明）．
（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
豐台區2023年高三年級第二學期統一練習（二）
數學（理科）參***
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
注：第12，13題第乙個空填對得3分，第二個空填對得2分；
第14題只寫對乙個得2分，有乙個錯誤不得分．
三、解答題：
（15）（本小題共13分）
解：（ⅰ）在△中，因為，，
所以 2分
因為，，
所以4分
所以5分
（ⅱ）在△中，由餘弦定理可得
7分所以，
所以， 即．
所以或（舍）．
所以8分
在△中，由正弦定理得，
即10分
所以11分
所以．即13分
（16）（本小題共13分）
解3分（ⅱ）設「從抽取的位客戶中任意抽取位，至少有一位是a組的客戶」為事件m，則
6分所以從抽取的位客戶中任意抽取位至少有一位是a組的客戶的概率是．
（iii）依題意的可能取值為，，．
則10分
所以隨機變數的分布列為：
所以隨機變數的數學期望12分
即13分
（17）（本小題共14分）
（ⅰ）證明：在三稜柱中，
側面為平行四邊形，
所以．又因為平面，平面，
所以平面2分
因為平面，且平面平面，
所以4分
（ⅱ）證明：在△中，因為，是的中點，
所以．因為平面，如圖建立空間直角座標系5分
設，，在△中，，
所以，所以，，
，．所以，．
…………………7分
所以，所以9分
（ⅲ）解：因為， 所以，即．
因為，所以10分
設平面的法向量為，
因為，即，
令，則，，
所以12分
因為 所以，即，
所以或，即或14分
（18）（本小題共13分）
（ⅰ）解：依題意2分
令，， 則．
所以在區間上單調遞減．
因為，所以，即4分
所以的單調遞減區間是，沒有單調遞增區間5分
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知，在區間上單調遞減，且，．
當時，在上單調遞減．
因為，，
所以有且僅有乙個零點7分
當，即時，，即，在上單調遞增．
因為，，
所以有且僅有乙個零點9分
當時，，，
所以存在，使得10分
，，的變化情況如下表：
所以在上單調遞增，在上單調遞減11分
因為，，且，
所以，所以有且僅有乙個零點．…………………12分
綜上所述，有且僅有乙個零點13分
（19）（本小題共14分）
解：（ⅰ）依題意得，所以1分
因為，所以2分
所以3分
所以橢圓的方程為4分
（ⅱ）橢圓的右焦點5分
設直線：，設6分
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