2023年靜安、楊浦、青浦寶山區高三二模卷(理科) 2013.04.
（滿分150分，答題時間120分鐘）
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．已知全集，集合，則
2．若複數滿足（是虛數單位），則
3．已知直線的傾斜角大小是，則
4．若關於的二元一次方程組有唯一一組解，則實數的取值範圍
是5．已知函式和函式的影象關於直線對稱，則函式的解析式為
6．已知雙曲線的方程為，則此雙曲線的焦點到漸近線的距離為
7．函式的最小正週期
8．若展開式中含項的係數等於含項係數的8倍，則正整數
9．執行如圖所示的程式框圖，若輸入的值是，則輸出的值是
10．已知圓錐底面半徑與球的半徑都是，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，那麼這個圓錐的母線長為
11．某中學在高一年級開設了門選修課，每名學生必須參加這門選修課中的一門，對於該年級的甲、乙、丙名學生，這名學生選擇的選修課互不相同的概率是結果用最簡分數表示)．
12．各項為正數的無窮等比數列的前項和為，若， 則其公比的取值範圍是
13．已知兩個不相等的平面向量， ()滿足||＝2，且與－的夾角為120°，則||的最大值是
14．給出30行30列的數表：，其特點是每行每列都構成等差數列，記數錶主對角線上的數按順序構成數列，存在正整數使成等差數列，試寫出一組的值
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知，，則的值等於
（abcd）．
16．已知圓的極座標方程為，則「」是「圓與極軸所在直線相切」的
（a）充分不必要條件．（b）必要不充分條件．（c）充要條件．（d）既不充分又不必要條件．
17． 若直線經過點，則
（a）． （b）． （c）． （d）．
18．已知集合，若對於任意，存在，使
得成立，則稱集合是「集合」. 給出下列4個集合：
其中所有「集合」的序號是
（abcd）①③④．
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．
在稜長為的正方體中，分別為的中點．
（1）求直線與平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小．
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
如圖所示，扇形，圓心角的大小等於，半徑為，在半徑上有一動點，過點作平行於的直線交弧於點．
（1）若是半徑的中點，求線段的大小；
（2）設，求△面積的最大值及此時的值．
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分 ．
已知函式．
（1）若是偶函式，在定義域上恆成立，求實數的取值範圍；
（2）當時，令，問是否存在實數，使在上是減函式，在上是增函式？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．
22．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知點，、、是平面直角座標系上的三點，且、、成等差數列，公差為，．
（1）若座標為，，點在直線上時，求點的座標；
（2）已知圓的方程是，過點的直線交圓於兩點，是圓上另外一點，求實數的取值範圍；
（3）若、、都在拋物線上，點的橫座標為，求證：線段的垂直平分線與軸的交點為一定點，並求該定點的座標．
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數列的前項和為，且滿足()，，設，．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若≥，，求實數的最小值；
（3）當時，給出乙個新數列，其中，設這個新數列的前項和為，若可以寫成(且)的形式，則稱為「指數型和」．問中的項是否存在「指數型和」，若存在，求出所有「指數型和」；若不存在，請說明理由．
2023年靜安、楊浦、青浦寶山區高三二模卷(理科)
參***及評分標準 2013.04
說明1．本解答列出試題一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精神進行評分．
2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答**現錯誤而中斷對該題的評閱．當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了後續部分，但該步以後的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定後面部分的給分，但是原則上不應超出後面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分．
3．第19題至第23題中右端所註的分數，表示考生正確做到這一步應得的該題分數．
4．給分或扣分均以1分為單位．
一．填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；
7．（文、理）；8．（文）4（理）；9．；10．；11．（文）（理）；12．；13．（文）（理）；14．（文）②③⑤（理）． ②
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15． d ； 16．（文）b （理）a ； 17． b ；18．（文）c（理）a
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 ．
(文)解：（1）如圖正四稜錐底面的邊長是公尺，高是公尺
所以這個四稜錐冷水塔的容積是．
(2)如圖，取底面邊長的中點，連線，
答：製造這個水塔的側面需要3.40平方公尺鋼板．
（理）19．（1）（理）解法一：建立座標系如圖
平面的乙個法向量為
因為，，
可知直線的乙個方向向量為．
設直線與平面成角為，與所成角為，則
19（1）解法二：平面，即為在平面內的射影，故為直線與平面所成角，
在中19（2）（理科）
解法一：建立座標系如圖．平面的乙個法向量為
設平面的乙個法向量為，因為，
所以，令，則
由圖知二面角為銳二面角，故其大小為．
19（2）解法二：過作平面的垂線，垂足為，即為所求
，過作的垂線設垂足為，∽即在中
所以二面角的大小為
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解:（1）在△中，，
由 得，解得．
（2）∵∥，∴，
在△中，由正弦定理得，即
∴,又 ．
（文）記△的周長為，則
=∴時，取得最大值為.
（理）解法一：記△的面積為，則，
∴時，取得最大值為
解法二：
即，又即
當且僅當時等號成立
所以∴時，取得最大值為.
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
（文）解：(1)依題意，，，
由，得，
設∴；(2)如圖，由得，
依題意，，設，線段的中點，
則，， ，
由，得，∴
（理）解:（1）是偶函式，
即又恆成立即
當時當時，，
當時，，
綜上（2）
是偶函式，要使在上是減函式在上是增函式，即只要滿足在區間上是增函式在上是減函式．
令，當時；時，由於時，
是增函式記，故與在區間上有相同的增減性，當二次函式在區間上是增函式在上是減函式，其對稱軸方程為．
22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
（文）解:（1）過原點，
得或 (2)(3)同理21
（理）解（1），所以，設
則，消去，得，…（2分）
解得，,所以的座標為或
（2）由題意可知點到圓心的距離為…（6分）
（ⅰ）當時，點在圓上或圓外，，
又已知，，所以或
（ⅱ）當時，點在圓內，所以，
又已知，，即或
結論：當時， 或；當時，或
（3）因為拋物線方程為，所以是它的焦點座標，
點的橫座標為，即
設，，則，，，
所以直線的斜率，則線段的垂直平分線的斜率
則線段的垂直平分線的方程為
直線與軸的交點為定點
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
（文）解：（1）令得，即；
又（2）由和
， 所以數列是以2為首項，為公差的等差數列，所以．
解法一：數列是正項遞增等差數列，故數列的公比，若，則由得，此時，由解得，所以，同理；若，則由得，此時組成等比數列，所以，，對任何正整數，只要取，即是數列的第項．最小的公比．所以．………（10分）
解法二: 數列是正項遞增等差數列，故數列的公比，設存在組成的數列是等比數列，則，即
因為所以必有因數，即可設，當數列的公比最小時，即，最小的公比．所以．
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