本章前言
◆ 本章學習目標
理解參考係和座標系的概念。
掌握位移、瞬時速度和瞬時加速度概念；掌握已知加速度和初始條件求解速度、運動方程的方法；理解角速度、角加速度及其與線量的關係；理解相對運動及其計算方法。
◆ 本章教學內容
1、參考係、質點
1.1 參考係和座標系
1.2 質點
2、速度和加速度
2.1 位置向量和位移向量
2.2 瞬時速度和瞬時加速度
3、幾種典型的質點運動
3.1 直線運動
3.2 拋體運動
3.3 圓周運動
4、角量描述、線量與角量間關係
4.1 角位移、角速度和角加速度
4.2 線量與角量間的關係
5、相對運動
◆ 本章重點
瞬時速度和瞬時加速度。
已知加速度和初始條件求解速度、運動方程的方法。
相對運動及其計算方法。
◆ 本章難點
速度和加速度的向量性質和相對性。
物理量的微積分計算。
◆ 本章學習方法建議及參考資料
盡力掌握運動學中微積分的使用方法。
§1.1 參考係、質點
1.1.1 力學與機械運動
一、什麼是力學
力學就是關於機械運動規律的一門學問。
二、機械運動的定義
機械運動就是物體的位置變化和形狀變化（簡稱為位變與形變）。根據此定義，我們可以知道在日常生活和工作中碰到的很多物體運動的形式都是機械運動。它們運動的規律就是我們將要學習的力學的內容。
在大學物理中只研究物體位置變化的規律（包含質點和剛體—後面有這兩個概念的介紹），而對物體形變規律的研究則不包含在大學物理之中。
三、力學所包含的學科
力學對機械運動規律的研究與其它科學一樣，可以劃分為兩個階段：對機械運動的描述和得到機械運動的本質規律。根據階段的不同，力學劃分為運動學和動力學。
運動學是描寫運動的一門學問，它告訴大家物體是怎麼運動的。動力學是關於運動本質規律的學問，它告訴大家物體為什麼是這樣運動的。
根據我們對物體所作的理想化模型（質點和剛體）的不同而將力學劃分為：質點運動學、質點動力學以及剛體定軸轉動（它是剛體力學的一部分，完整剛體力學的內容在專門的力學課程中學習）。
1.1.2 參考係、質點
一、質點的定義
質點是乙個只有質量而沒有形狀和大小的幾何點。質點的機械運動只有它的位置變化，當然沒有形狀變化的問題。
質點是乙個抽象（理想）模型，當在乙個力學問題中物體的大小、形狀可以忽略時，我們可以把物體當作乙個有質量的點來處理，這就是質點概念。例如我們討論地球的公轉，或討論氣體分子在空間的運動軌跡的時候，無論地球多麼大，分子多麼小，我們總可以把它們當作質點來處理，而幾乎不會引起什麼誤差。質點模型的優點是能使複雜問題在一定的條件下得以簡化，使我們能夠忽略那些次要因素而專注於問題的主要方面。
二、實際物體可視為質點的條件
當物體的形狀和大小對運動沒有影響或其影響可以忽略的情況下，該物體就可以當成質點。
在乙個具體問題中，乙個物體是否能當成質點，並不在於物體的大小，而在於問題是否確實與物體的大小形狀無關。在上述問題中，地球和分子都當成了質點，但是如果我們討論的是地球或分子的自轉，就不能把它們當作質點來處理，因為質點是無從考慮自轉的。
三、實際物體可視為多個或無限多個質點的組合
實際物體總是由原子、分子組成的，若將每個原子或分子看成質點，物體就可以認為是由多個質點組成的。更一般的情況下，實際物體通過無限小分割（微分），總可以使每個微元無限小而可以當成質點，整個物體就可以看成是由無限多個質點組成的。因此，任何物體都能看作質點的集合。
所以討論質點的運動規律，也就構成了討論任何複雜事物運動規律的基礎。
1.1.3 參考係
一、參照系的定義
為了描寫物體的運動而選作為參考的物體或沒有相對運動的物體群，叫參照系（或參考係）。
作為本章的主要目的是描述質點的機械運動，也就是質點的位置變化。當我們談到某物體的位置時，總是要相對於另一參考物體而言。例如我們可以說：
「**亭在教學樓南面五十公尺處」。描述很清楚。但如果僅僅說：
「**亭在南面五十公尺處」，就實在令人費解了。這個例子中的「教學樓」就是描述中的參考係。
最常用的參照系是以地球表面為參照的參照系。當然，根據研究問題的不同還可以選其它物體作為參照系。
當我們在描述乙個運動時必需指明它的參照系。唯一的例外是以地球表面為參照系時可以不敘述它。
二、運動描述的相對性
雖然我們常用的參照系是地球表面參照系，但對任何物體的運動我們都可以任選參照系。應該注意的問題是：物體的同乙個運動使用不同參照系進行描述時，描述的結果一般是不同的。
這稱為運動描述的相對性。例如，當你乘坐電梯上樓時，以電梯為參照系描述你的運動是靜止的，而以地面為參照系描述你的運動則是豎直上公升的。
1.1.4 座標系
一、座標系的定義
有了參照系，我們就可以定性的描述物體的運動。但是作為乙個科學的理論是要對運動進行定量的描述。為了定量描述物體（質點）的運動，必需將參照系進行量化。
量化後的參照系就稱為座標系。量化方式的不同就形成了不同的座標系。
二、力學中常用的座標系
1、固定直角座標系
固定直角座標系又可以有平面和三維立體座標系之分。
座標系總是和參照系固定在一起的。我們總是在參照系上選乙個點作為座標原點，選擇兩個（或三個）相互垂直的方向建立座標軸，從而形成直角座標系。
2、自然座標系
自然座標系是以質點運動軌跡的切向和法向作為座標軸的方向建立的座標系。由於隨著質點的運動，不同時刻質點所在位置處軌跡的切向和法向是不同的，因此自然座標系是活動座標系。它隨質點運動而變化。
1.1.5 時間
運動總是和時間相聯絡的。物體運動的進行總意味著時間的變化。所以，我們描述物體運動總會碰到時間的問題。
例如，位置隨時間的變化，速度隨時間的變化等。從數學上看，我們描述運動的物理量總是以時間為自變數的函式表示的。
§1.2 描寫運動的四個物理量
1.2.1 位置向量
一、位置向量的定義
要描述質點的運動，即質點位置的變化，首先要描述質點位置。決定質點位置有兩個因素：距離和方向。
在最一般的情況下可以這樣來描述：當確定了座標系後（此時參照系也是確定了的）由座標原點指向質點p的向量來確定質點位置。這個向量稱為位置向量，簡稱為位矢，常用來表示。
顯然，這個向量準確地描述了質點所在位置。在一般的三維空間中的質點運動必須使用這種同時表示了距離和方向的向量來描述它的位置，除非質點被限定在乙個已知的曲線上運動我們才可以使用只表示了距離的標量來表述它的位置（如直線運動）。下圖表示了位置向量的定義。
r=op
二、位置向量的分解
如上圖所示，設p點在x、y、z三個座標軸上的座標為x、y、z，則可以把r表示為。
其中i、j、k為沿三個座標軸方向的單位向量（大小為1，僅表示方向）。x、y、z稱為位矢r的三個分量，分量是標量，有大小和符號。由位矢的三個分量可以求出位矢的大小（模）以及表示方向的方向余弦。
位矢的大小：
位矢的方向余弦：
三、運動方程
質點運動時，其位矢r隨時間而變，也即是說，位矢r是時間t的函式，這意味著位矢的分量x、y、z是時間的函式。
這個向量函式表示了質點位置隨時間的變化關係稱為質點的運動方程。上式也可以用分量表示為：
叫做運動方程的分量形式。在任何乙個具體問題中，上式中的x、y、z都是具體的函式。例如對xoy平面內的平拋運動，質點的位矢，其分量為。
運動方程表示質點位置隨時間的變化規律，由它可以確定質點在任意時刻t的位矢r。質點運動方程包含了質點運動中的全部資訊，是解決質點運動學問題的關鍵所在。也是我們解題通常的目標。
四、軌跡與軌跡方程
質點運動時所經過的空間點的集合稱為軌跡（或軌跡曲線）。描寫此曲線的數學方程叫軌跡方程。在運動方程的分量式中消去時間t就得到軌跡方程。
由數學概念，運動方程的分量式也就可以稱為質點運動軌跡的引數方程。
1.2.2 位移向量
一、位移向量的定義
如前所述，機械運動就是物體的位置變化。在上乙個知識點我們知道了質點位置的描述方法，現在我們來介紹位置變化的描述方法。在一般情況下，質點在乙個時間段內位置的變化我們可以用質點初時刻位置指向末時刻位置的向量來描寫，這個向量叫位移向量。
常用δr來表示。
二、位移向量的表示方法
如圖所示，質點t時刻在p1點，位矢為r1，時刻在p2點，位矢為r2，則位移向量的定義該時間段內質點的位移為：
按位置向量的分量表示，則有：
可見位移向量的三個分量為：
若知道了位移向量的三個分量、和，則位移的大小和方向余弦可以按照求位矢大小和方向時所用的方法求出：
三、路程
質點運動過程中經過軌跡長度叫做路程。常用s或δs表示。
四、路程與位移的區別和聯絡
路程只有大小，沒有符號，更沒有方向，這一點容易和位移區別，而且在一般情況下，路程與位移的大小也不相等。見圖，在t到過程中，質點路程s為p1與p2兩點之間的弧長，而位移的大小為p1與p2之間直線的長度。但是在時，路程等於位移的大小：。
運動過程中質點到原點o的距離r的變化用表示，見上圖。在一般情況下，它與位移的大小也不相等，即。例如圓周運動，若以圓心為座標原點，則質點到原點o的距離r是乙個常量，即有，但是質點位移的大小則顯然不為零。
1.2.3 速度向量
一、速度的定義與物理意義
如前乙個知識點所述，質點位置的變化都是與一段時間相聯絡的。將位移向量與時間的比定義為速度。用v來表示。它也是乙個向量。它的物理意義是單位時間內質點所發生的位移。
二、速度的數學計算公式
1、平均速度：有限長時間內質點位移與時間的比叫平均速度。數學上表示為：。
式中：表示考察的時間段，表示該時間段內質點所發生的位移。顯然，平均速度是乙個向量，它的方向也就是過程中質點位移的方向。按向量的分量表示方法，可以得到平均速度的三個分量為
2、瞬時速度：無限短時間內質點位移與時間的比叫瞬時速度，簡稱為速度。根據高等數學關於極限的意義，速度可以表示為平均速度的極限，即：
即速度為位矢對時間的變化率（或位矢對時間的一階導數）。
3、速度的分量形式
由位置向量的分量形式，我們有：
定義：式中，，，分別叫做速度的x，y和z分量。對比可知速度的三個分量為：
速度的大小和方向余弦也可根據向量運算的一般方法由它的三個分量確定。
三、速度的方向
速度是向量，它的方向即時的極限方向。在如圖中可以看出，時趨於軌道在p1點的切線方向。所以我們說：
速度的方向是沿著軌道的切向，且指向前進的一側。質點的速度描述質點的運動狀態，速度的大小表示質點運動的快慢，速度的方向即為質點的運動方向。
第一章質點運動學
大學物理習題冊 a 集美大學物理教研室編 2009 1 班級 物理教研室 姓名 何紅生 學號 0000000001 第1 1 運動學 一 一 填空題 1 已知質點的運動方程 si制 則 t 1s時質點的位置向量 速度，加速度 第1s末到第2 s秒末質點的位移。2 一質點具有恆定加速度，在時。其速度為...
質點運動學
一 選擇題 1 以下五種運動形式中，保持不變的運動是 a 圓錐擺運動b 勻速率圓周運動 c 行星的橢圓軌道運動 d 拋體運動d 2 下列說法正確的是 a 質點作圓周運動時的加速度指向圓心 b 勻速圓周運動的加速度為恒量 c 只有法向加速度的運動一定是圓周運動 d 只有切向加速度的運動一定是直線運動d...
01質點運動學
一 質點運動學作業題 一 選擇題 1 質點沿軌道ab作曲線運動，速率逐漸減小，圖中哪一種情況正確地表示了質點在c處的加速度 abcd 2 一質點沿x軸運動的規律是 si制 則前三秒內它的 a 位移和路程都是3m b 位移和路程都是 3m c 位移是 3m，路程是3m d 位移是 3m，路程是5m。3...