1.4 自然數
自然數**於實踐．人們首先認識自然數，然後是分數，整數，有理數，實數，複數，但怎樣把這些數的性質抽象出來，再像幾何學那樣將其公理化，卻是乙個複雜的任務．做這樣工作的當然有很多數學家，其中一位得到公認的義大利數學家皮阿羅，他把自然數乙個接著乙個，不間斷的性質抽象出來，形成以下公理．
定義1.16 任何乙個非空集合ｎ的元素叫做自然數．如果在這個集合中，對於某些元素，存在關係後面，或者後面的數（後面的數用表示），滿足下面公理：
ａ．存在乙個數１，它不在任何數的後面，即對任何數．
ｂ．對於任意數，存在且僅存在乙個它後面的數，即若
ｃ．若ｄ．（歸納公理）具有下面性質的自然數的任何集合m若滿足
（1）；
（2）如果屬於m，則它後面的數也屬於m．
則集合ｍ含有一切自然數，即ｍ＝ｎ．
也許有人說自然數的上述定義不那麼好，因為按照定義，任何滿足上述定義的都是自然數集合，因而自然數集合就不只乙個．
例如上述集合也滿足自然數定義，但所有滿足定義的集合彼此是同構的，因而可以等同看待．
定義1.17 如果數b在的後面，我們稱的前元，的後繼元．
根據自然數定義中的公理(1)，數１沒有前元．下面我們證明自然數中只有１沒有前元，其他元素均有前元．
定理1.10 任何乙個不等於１的數均有前元，而且僅有乙個．
證明設集合ｍ是含有１和至少有乙個前元的所有數的集合，則
(1)；
(2)如果，則（因為有前元）．由公理ｄ，ｍ=n,即所有自然數（除１外）均有前元，再由公理ｃ，前元是惟一的．
定理1.11 若，則，若，則．
證明由公理ｂ和ｃ即得結論．
定理1.12 對於任何自然數，均有．
證明設ｍ是所有具有性質的元素的集合．
由公理ａ，１沒有前元，所以
若，則．
則（由定理1.11得出）．
所以．再由公理(4)，ｍ＝ｎ，即所有自然數均有．
前面我們給出了自然數的定義及其若干性質，下面我們給出自然數的加法與乘法定義，並給出相應這些運算的性質，當然自然數也有減法與除法，但這裡不再給出．
定義1.18 自然數的加法是指這樣的對應：由於它，對於每一對自然數與b，有且僅有乙個自然數與之對應，而且具有以下性質：
(1)對於任意自然數有
(2)對於任意自然數與b有
由上述定義中(１)和(２)兩個條件不難看出，實際已把所有自然數的加法結果給出，因為
１＋１＝１＇
由此得出所有１＋k，至於其他自然數的相加也不難歸納得出．但是上述自然數加法定義是否合理，也就是說，這乙個運算是否ｎ×ｎ→ｎ的對映，這就需要證明．下面我們證明上述的加法對應關係是ｎ×ｎ→ｎ的對映．
加法定義合理性證明．
證明對任意與b，令是這樣的對應
對於固定的，令
設ｍ是這樣數b的集合，它使是惟一確定元素．
因為，對於固定的是惟一的，所以．
若，則是惟一的，即是惟一的，所以也是惟一的，所以，所以ｍ＝ｎ．
由是任意的，所以是ｎ×ｎ→ｎ的對映，即上述定義是乙個代數運算．
現在我們給出自然數加法的一些簡單運算性質，這些性質都是根據加法定義給出的．］
定理1.13 加法的結合律
證明設選定了兩個數與b，ｍ是所有這樣數c的集合，對於它們結合律成立，即．
(1)所以．(2)若，則
所以所以，所以ｍ＝ｎ，即所有自然數滿足結合律．
定理1.14 加法的交換律
證明首先證明
對使用歸納公理，設ｍ是使成立的的集合，則
(1)．
(2)若，則
所以．由歸納公理ｄ
ｍ＝ｎ其次我們再對b使用歸納公理(4)，對固定的，設ｍ是等式成立的元素b的集合．
(1)．
(2)若，則
所以，由歸納公理ｄ
ｍ＝ｎ下面再給出兩個自然數有關性質，同時給出自然數的有序性質．
定理1.15 對於任意數與b
證明定理對b=1成立，因為．
設ｍ是使的元素b的集合，則(1)，若，
所以，即ｍ＝ｎ．
定理1.16 對於任何兩個自然數與b，下面三種情況中有一種且僅有一種成立．
(1)(2)(3)證明定理中(1)和(2)不能同時成立，(1)和(3)也不能同時成立（由定理1.15得出）．
假如(2)與(3)同時成立，則
，這又與定理1.15矛盾，
所以上述三種情形不能同時成立兩個．
下面我們證明上述三種情況成立一種且僅成立一種．
對於固定的，設m是這樣數b的集合，它使上述三種情況只成立一種．
當時，，情況(1)成立．
當，而b=1時：
由定理1.10，，情況(2)成立，所以．
現在我們設，
當情況(1)成立時，，所以，即情況(3)對成立．
若和k=1，則，情況(1)對成立．
若，則情況(2)對成立．
當情況(3)成立時，
情況(3)對成立．
所以無論怎樣(1)，(2)，(3)對與只成立一種，所以，ｍ＝ｎ．
由定理1.16顯然可以規定出自然數的大小順序.
定義19 如果給定的兩個自然數與b存在乙個數k，使得
則稱大於b，b小於，記為
，或由定理1.16顯然可得如下性質：對任意兩個數與b，下列三種情況只成立一種
下面我們給出自然數乘法定義與相關性質．
定義1.20 自然數的乘法是指這樣的對應，由於它對於每一對自然數與b，有且僅有乙個自然數與之對應，並且具有下面性質．
(1)(2)當然首先必須指明，滿足上述兩條的對應是ｎ×ｎ→ｎ的對映，即上述規定的乘法是代數運算，下面再給出幾個乘法運算的性質．
定理1.17 右分配律
證明對於給定的與b，設ｍ是滿足右分配律
的元素c的集合．
顯然所以，若，則
所以，所以ｍ＝ｎ．
定理1.18 乘法交換律
證明當時設ｍ是使成立的元素b的集合．
顯然，若，，則
所以，即ｍ＝ｎ．
對於給定的b，設ｍ是使成立的元素的集合．
顯然，若
所以，即ｍ＝ｎ．
由於乘法滿**換律，所以，自然數乘法也滿足左分配律．
我們還可以給出自然數減法與除法的定義，當然並不是每一對自然數都能相除與相減，為了使減法可以實行，我們把自然數擴大為整數．為了使除法能實行，我們又把整數擴大為有理數．
才有理數有理數零正有理數有理數零負有理數
第二章才有理數 一 有理數的意義 2 1 正數和負數 一 知識點 1 像5 8 2.4 等大於0的數叫正數。像 1 5.2 7 等在正數前面加上 號的數叫負數。2 0既不是正數，也不是負數。3正整數 整數 0 負整數 有理數零 正分數分數 負分數正整數 正有理數 正分數有理數零 負整數負有理數 負分...
有理數概念全練
第二章有理數及其運算 例1 把各數分別表示在數軸上，並填在相應的集合裡。8 1 8 1 8 1 8 0。整數集合分數集合 正數集合負數集合 正整數集合有理數集合 例2 填空 兩個互為相反數的數的和是 兩個互為相反數的數的商是 0除外 的絕對值與它本身互為相反數 的平方與它的立方互為相反數 與它絕對值...
《有理數1》問題錯解例析
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