小學奧數方法——特殊數題。。。。。。
-1.特殊數題
(1)21－12
當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。
因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也就相應地增加了乙個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。
被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
個位數字都是1，十位數字的和小於10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，後兩位是十位數字的和同1連在一起的數。
若十位數字的和滿10，進1。如
證明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86 42×62
個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，後兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補0。
證明：(10a＋c)(10b＋c)
＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
證明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab
＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用乙個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
證明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。如
證明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd
＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8)
＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。
(9)36×15
乘數是15的兩位數相乘。
被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1後的一半，和的後面添個5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因為348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
乙個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
原式＝8500－85＝8415
不難看出這類題的積：
最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；
最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；
中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。
證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，則
如果被乘數的個位數是1，例如
31×999
在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
這是因為任何乙個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表示為(10n－1)的形式，其積為
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
這是一道頗為繁複的計算題。
原式＝0.052631578947368421。
根據「如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍」和「商不變」性質，可很方便算出結果。
原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程式：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移動一位，寫到被除數裡，繼續除
如此除到迴圈為止。
仔細分析這個算式：
加號前面的0.05是0.1÷2的商，後面的0.
05×0.1÷1.9中0.
05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裡，除以1.
9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。
除數末位是9，都可用此法計算。
例如1÷29，用0.1÷3計算。
1÷399，用0.1÷40計算。
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