第四章整除問題
，內容精要
1，整數的概念
一般的說，如果a, b ,c為整數，b≠0且a÷b=c，即整數a除以整數b （b≠0），除得得商c正好是整數而沒有餘數（或者說餘數是0）我們就說a能被b整除（或者說b能整除a）；記作b︱a，否則，稱為a不能被b整除（或者說b不能整除a）
如果整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數，顯然，0是任何自然數的倍數，但不是任何自然數的約數。而1是任何整數的約數，即任何整數都是1的倍數。
2，理解並掌握整除的一些性質
（1）如果整數a，b都能被自然數c整除，那麼a，b的和或差也能被c整除。這個性質還可以進一步延伸為更多的數。
（2）如果整數a能被整數b整除，那麼a×c（c是整數），也能被b整除。『
（3）如果整數a能整除b，b能整除c，那麼a能整除c.
（4)如果b，c是互質數，並且a能同時被b，c整除，那麼a能被b×c的積整除
3，常用整除特徵
（1）看末一位或幾位數字。
能被2整除數的特徵：各位數上是0，2，4，6，8的整數
能被5整除數的特徵：各位數上是0，5的整數，反之亦然
能被4（或25）整除數的特徵：乙個整數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除
能被8(或125)整除數的特徵：乙個整數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除
（2）看各位數字的和
能被3（或9）整除數的特徵：如果乙個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，這個數就能被3（或9）整除；反過來，乙個數能被3（或9）整除，這個數的各位數字之和就能被3（或9）整除；用的較多的是反過來的結論
（3）看兩部分數字的差
能被11整除數的特徵：如果乙個整數奇數字上數字和與偶數字上數字和的差能被11整除，這個數就能被11整除，反過來也成立
（4）看兩部分數字組成的數的差
能被7，11，13整除數的特徵：這個數的末三位與末三位以前數字所組成的數之差（或反過來）能被7，11，13整除
例題例一在六位數568○○○的圈中填入三個數字，使這個六位數能被3，4，5整除。試求滿足條件的最小六位數
法一：設六位數為568abc，因為六位數分別是3，4，5的倍數，所以（1）5+6+8+a+b+c=19+a+b+c是3的倍數，即a+ b+ c被3除餘2
（2）bc 是4的倍數（3）c=0或5 由此可知c=0且b是0，2，4，6，8之一由於要求是最小的六位數，所以a從最小數開始試驗，有a=0,b=2時滿足條件所以六位數是568020
法二：因為3，4，5的最小公倍數是60，所以用60除568000，觀察餘數的大小。根據568000除以60餘40可知，568000再加上20即可被60整除，故滿足條件的最小六位數是568020
例二：在○內填上合適的數，使六位數○1998○能被56整除
因為56可以分解成7與8的乘積，所以要使○1998○能被56整除，就應讓它能被7與8整除。先考慮它怎樣才能被8整除：乙個整數的末三位數能被8（或125）整除。
經計算，這個數的各位應該填4.再考慮它怎樣才能被7整除，要解答這個比較難，一般先知道被7整除的特徵：末三位與末三位以前數字所組成的數之差（或反過來）能被7整除。
抓住這一線索，可以推算它的首位填3：319984.
如何確定○19984的首位填什麼數字才能被7整除，還有乙個非常巧妙且適合我們小學生理解和運用的方法——倒著除；倒著除就是從低位往高位，便可確定它的最高位上應填幾，倒著除可借助除非豎式完成
例三：小明說：如果自然數a的數字和等於自然數3×a的數字和，那麼a一定可能被k個3的乘積整除。要使小明的說法成立，那麼k的最大值是（ ）
因為a是3的倍數，3a是9的倍數;a的數字和等於3a的數字之和，所以a也是9的倍數
因為a是9的倍數，所以a一定能被2個3的乘積整除，即k的最大值不小於2
另一方面，當a=9時，3a=27，9=2+7，符合題意，但a不能被3個3乘積整除，即k得最大值小於3
所以k得最大值是2
例四用數字1到9組成乙個九位數，左起第一位能被1整除，前兩位能被2整除，前三位能被3整除﹍，前九位能被9整除。已知第七位數字是7，求這個九位數
設九位數abcdef7gh 由條件知：(1),b,d,f,g是偶數，a,c,e,h為奇數，且e=5 (2)
因為f7g是8的倍數，且f,g是偶數，根據f00是8的倍數，可知7g是8的倍數有g=2
（3）因為cd是4的倍數，且c是奇數，所以d=2或6，根據g=2有d=6 （4）因為abc65f是6的倍數，且abc是3的倍數，所以65f是3倍數，有6+5+f是3的倍數，根據f是偶數，有f=4 由此得b=8 （5）最後確定a,b 因為a8c是3的倍數，所以a+8+c是3的倍數，即a+c被3除餘1.由於只剩下1，3，9三個數字，因此a+c有四種可能 1+3，3+1，1+9，9+1，根據a8c6547是7的倍數，試驗可知a=3,c=1.由此推出h=9
所以九位數是381654729
例五：從1到1993這1993個自然數中，取出若干個數，使其中任意三個數的和能被3整除，那麼取出的自然數最多可有（ ）個
由於餘數相同的三個數之和必能被3整除，而乙個自然數除以3的餘數只有0，1，2三種可能，又因1除以3商0餘1，199除以3商664餘1，說明從1到1993這1993個數中，除以3餘1的數最多，共有664+1=665（個）。
所以取出的自然數最多有665個。
例六：小馬虎在一張紙上寫了乙個無重複數字的五位數9□4□5，其中十位數字和千位數字都看不清了，但是已知這個數能被75整除，那麼滿足上述條件的五位數中，最大的乙個是多少？
因為五位數9□4□5，能被75整除，而75=25×3，3與25互質，所以五位數9□4□5能同時被3和25整除。
五位數9□4□5被25整除時，由於末尾是5，所以十位數字只能是2或7，即末兩位數只能是25或75
當末兩位是25時，五位數9□425能被3整除，其各位數字能被3整除，則千位數字只能是1，4，7.而這些五位數中，無重複數字，且最大的乙個是97425.
同理，當末兩位數是75，能被三整除的最大五位數，且無重複數字的是98475
因此，滿足條件的最大五位數是98475
例七：森林裡有乙個不到80戶的動物王國，小歐巴比不遠千里來看望住在這個王國的三位好朋友：小貓樂樂小兔乖乖，和小熊盼盼，到了門口，正好碰到看門的侯大哥，猴大哥告訴他：
小貓樂樂小兔乖乖，和小熊盼盼住在靠裡邊，並且恰好是鄰居，她們三家的門牌號還依次能被3，4，5整除，聰明巴比沒詢問其他人便一會找到了他們，你知道他是怎麼找到的嗎？
因為小貓樂樂小兔乖乖，和小熊盼盼是鄰居，意味著他們門牌號是三個連續的且小於80的自然數，然後根據能被5整除的數的特徵，很容易確定小熊盼盼的門牌號的各位應該是0或5.那麼住在小熊盼盼前面的小兔乖乖就應是□9或五位數9□4□5，而小兔乖乖的門牌號要能被4整除，這樣就能確定他們三家的門牌號應該是□3，□4，□5，根據題意，我們知道3︱（□+3）得□=0，3，6，9；而4︱□4，得□=0，2，4，6，8.符合這兩個條件的只有0，6.
題目還提到小貓樂樂小兔乖乖，和小熊盼盼住在靠裡邊，因此□=6，即他們三家的門牌號分別是63，64，65.
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