第一講數的整除問題
數的整除性是數論的基礎內容，學生能否熟練掌握該內容對以後進一步深入學習數論至關重要.
本講需要教授的內容有：
1、掌握並熟練運用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然數性質，這類知識在（ⅰ、ⅱ類）題中運用很多.
2、訓練學生對自然數的快速分解，記住並會運用幾個特殊數（111、1001等）的分解情況對於解決（ⅲ類）有很大的幫助.
3、自然數乘法末位數規律.
4、基礎好的學生還應該掌握分式的化簡方法.
1．整除——約數和倍數
一般地，如a、b、c為整數，b≠0，且a÷b = c，即整數a除以整數b（b≠0），除得的商c正好是整數而沒有餘數（或者說餘數是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b︱a。否則，稱為a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或因數）。
2．數的整除性質
性質1：如果a、b都能被c整除，那麼它們的和與差也能被c整除。
性質2：如果b與c的積能整除a，那麼b與c都能整除a。
性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那麼b與c的積能整除a。
性質4：如果c能整除b，b能整除a，那麼c能整除a。
3．數的整除特徵
1 能被2整除的數的特徵：個位數字是0、2、4、6、8的整數。
2 能被5整除的數的特徵：個位是0或5。
3 能被3（或9）整除的數的特徵：各個數字數字之和能被3（或9）整除。
4 能被4（或25）整除的數的特徵：末兩位數能被4（或25）整除。
5 能被8（或125）整除的數的特徵：末三位數能被8（或125）整除。
6 能被11整除的數的特徵：這個整數的奇數數字上的數字之和與偶數數字上的數字之和的差（大減小）是11的倍數。
7 能被7（11或13）整除的數的特徵：乙個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（11或13）整除。
4.部分特殊數的分解
111=3×37； 1001=7×11×13； 11111=41×271； 10001=73×137；
1995=3×5×7×19； 1998=2×3×3×3×37； 2007=3×3×2232008=2×2×2×251； 2007+2008=4015=5×11×73; 10101=3×7×13×37.
【例1】（全國希望盃數學邀請賽）若四位數能被15整除，則a代表的數字是 ．
【例2】把三位數接連重複地寫下去，共寫1993個，所得的數恰是91的倍數，求=？
【例3】如果有乙個九位數能被72整除，試求a、b兩數的差(大減小)．
【例4】(2023年祖沖之杯小學數學邀請賽)三個連續自然數的和能被13整除,且三個數中最大的數被9除餘4,那麼符合條件的最小的三個數是
【例5】要使能被36整除，而且所得的商最小，那麼a、b、c分別是多少？
【例6】 求能被26整除的六位數。
【例7】(2023年全國小學數學奧林匹克競賽)如果能被11整除,那麼n最小值是_____.
【例8】(2023年香港聖公會小學數學奧林匹克競賽)乙個六位數,前四位是2857,即2857 ,這個六位數能被11和13整除,請你算出後兩位數.
【例9】(2023年全國華羅庚金盃少年數學邀請賽)在算式 +91=中,已知蓋住的是乙個能被9整除的兩位數,蓋住的是7的倍數,問蓋住的數是多少?
【例10】（香港聖公會小學數學奧林匹克）這個199位整數：被13除，餘數是多少？
分數裂項求和方法總結
（一） 用裂項法求型分數求和
分析：因為＝（n為自然數）
所以有裂項公式：
【例1】 求的和。
（二） 用裂項法求型分數求和
分析：型。（n,k均為自然數）
因為所以
【例2】 計算
（三） 用裂項法求型分數求和
分析：型（n,k均為自然數）
＝＝所以＝
【例3】 求的和
（四） 用裂項法求型分數求和
分析：（n,k均為自然數）
【例4】 計算：
（五） 用裂項法求型分數求和
分析：（n,k均為自然數）
【例5】 計算：
（六） 用裂項法求型分數求和
分析：（n,k均為自然數）
【例6】 計算：
（七）用裂項法求複合型分數和（例題略）
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第四章整除問題 內容精要 1，整數的概念 一般的說，如果a,b c為整數，b 0且a b c，即整數a除以整數b b 0 除得得商c正好是整數而沒有餘數 或者說餘數是0 我們就說a能被b整除 或者說b能整除a 記作b a，否則，稱為a不能被b整除 或者說b不能整除a 如果整數a能被整數b整除，a就叫...