全方位一對一教學輔導教案
學科：數學授課教師：黃耀華授課時間： 2016 年月日星期
三角形的證明
【知識點一：全等三角形的判定與性質】
1．判定和性質
2．證題的思路：
【典型例題】
1．用直尺和圓規作乙個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠aoc=∠boc的依據是（ ）
a．sss b．asa
c．aas d．角平分線上的點到角兩邊距離相等
2．下列說法中，正確的是（ ）
a．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等 b．兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等
c．兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等 d．面積相等的兩個三角形全等
3．如圖，△abc≌δade，若∠b＝80°，∠c＝30°，∠dac＝35°，
則∠eac的度數為（ ）
a．40° b．35° c．30° d．25°
4．已知：如圖，在△mpn中，h是高mq和nr的交點，且mq＝nq．求證：hn＝pm.
5．用三角板可按下面方法畫角平分線：在已知∠aob的兩邊上，分別取om＝on （如圖5－7），再分別過點m、n作oa、ob的垂線，交點為p，畫射線op，則op平分∠aob，請你說出其中的道理．
圖5－7
【鞏固練習】
1．下列說法正確的是（ ）
a．一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 b．斜邊相等的兩個直角三角形全等
c．斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等d．一邊長相等的兩等腰直角三角形全等
2．如圖，在△abc中，d、e分別是邊ac、bc上的點，若△adb≌
△edb≌△edc，則∠c的度數為（ ）
a．15° b．20° c．25° d．30°
3．如圖，已知△abc的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和△abc全等的圖形是 （ ）
a．甲和乙 b．乙和丙 c．只有乙 d．只有丙
4．如圖4－9，已知δabc≌δa'b'c'，ad、a'd'分別是δabc和δa'b'c'的角平分線．
（1）請證明ad＝a'd'；
（2）把上述結論用文字敘述出來；
（3）你還能得出其他類似的結論嗎?
圖4－9
5．如圖4－10，在△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，直線l經過頂點c，過a、b兩點分別作l的垂線ae、bf，e、f為垂足．
（1）當直線l不與底邊ab相交時，求證：ef＝ae＋bf．
圖4－10
（2）如圖4－11，將直線l繞點c順時針旋轉，使l與底邊ab交於點d，請你**直線l在如下位置時，ef、ae、bf之間的關係．
①ad＞bd；②ad＝bd；③ad＜bd．
圖4－11
【知識點二：等腰三角形的判定與性質】
等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）
等腰三角形的性質：
1 等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）；
2 等腰三角形「三線合一」的性質：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；
3 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高、中線也相等．
【典型例題】
1．等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（ ）
a．12 b．15c．12或15 d．18
2．等腰三角形的乙個角是80°，則它頂角的度數是（ ）
a．80° b．80°或20° c．80°或50° d．20°
3．已知△abc中，ab=ac=x，bc=6，則腰長x的取值範圍是（ ）
a．0＜x＜3 b．x＞3 c．3＜x＜6 d．x＞6
4．如圖，∠mon=43°，點a在射線om上，動點p在射線on上滑動，
要使△aop為等腰三角形，那麼滿足條件的點p共有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
5．如圖，在△abc中，bo平分∠abc，co平分∠acb，de過o且平行於bc，已知△ade的周長為10cm，bc的長為5cm，求△abc的周長．
6、如下圖，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一點（m與a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分線於點d，求證：md=ma.
【鞏固練習】
1．如圖，已知直線ab∥cd，∠dcf=110°且ae=af，則∠a等於（ ）
a．30° b．40° c．50° d．70°
2．下列說法錯誤的是（ ）
a．頂角和腰對應相等的兩個等腰三角形全等
b．頂角和底邊對應相等的兩個等腰三角形全等
c．斜邊對應相等的兩個等腰直角三角形全等
d．兩個等邊三角形全等
3．如圖，是乙個5×5的正方形網格，網格中的每個小正方形的邊長均為1．點a和點b在小正方形的頂點上．點c也在小正方形的頂點上．若△abc為等腰三角形，滿足條件的c點的個數為（ ）
a．6 b．7 c．8 d．9
4．如圖，在△abc中，∠abc和∠acb的平分線交於點e，過點e作mn∥bc交
ab於m，交ac於n，若bm+cn=9，則線段mn的長為（ ）
a．6 b．7 c．8 d．9
5．如圖：e在△abc的ac邊的延長線上，d點在ab邊上，de交bc於點f，df=ef，bd=ce，過d作dg∥ac交bc於g．求證：
（1）△gdf≌△cef；（2）△abc是等腰三角形．
【知識點三：等邊三角形的判定與性質】
判定：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形；
三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
三個角都是60°的三角形是等邊三角形；
有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形．
性質：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°．
【典型例題】
1．下列說法中不正確的是（ ）
a．有一腰長相等的兩個等腰三角形全等
b．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等
c．斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等
d．斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等
2．如圖，在等邊△abc中，∠bad=20°，ae=ad，則∠cde的度數是（ ）
a．10° b．12.5° c．15° d．20°
3、如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
【變式練習】
1．下列命題：①兩個全等三角形拼在一起是乙個軸對稱圖形；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在直線；③等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形．其中錯誤的有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
2．如圖，ac=cd=da=bc=de．則∠bae是∠bac的（ ）
a．4倍 b．3倍
c．2倍 d．1倍
3．如圖，等邊△abc的周長是9，d是ac邊上的中點，e在bc的延
長線上．若de=db，則ce的長為 ．
4．如圖，等邊△abc中，點d、e分別為bc、ca上的兩點，
且bd=ce，連線ad、be交於f點，則∠fae+∠aef的度數
是（ ）
a．60° b．110° c．120° d．135°
5．如圖，已知：∠mon=30°，點a1、a2、a3…在射線on上，點b1、b2、b3…在射線om上，△a1b1a2、△a2b2a3、△a3b3a4…均為等邊三角形，若oa1=1，則△a6b6a7的邊長為（ ）
a．6 b．12 c．32 d．64
6.如圖①，m、n點分別在等邊三角形的bc、ca邊上，且bm=cn，am、bn交於點q．
（1）求證：∠bqm=60°；
（2）如圖②，如果點m、n分別移動到bc、ca的延長線上，其它條件不變，（1）中的結論是否仍然成立? 若成立，給予證明；若不成立，說明理由．
7．如圖，c為線段bd上一點（不與點b，d重合），在bd同側分別作正三角形abc和正三角形cde，ad與be交於一點f，ad與ce交於點h，be與ac交於點g．
（1）求證：be=ad；（2）求∠afg的度數；（3）求證：cg=ch．
【知識點四：反證法】
反證法：先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立．這種證明方法稱為反證法．
【基礎練習】
1、否定「自然數a、b、c中恰有乙個偶數」時的正確反正假設為（ ）
a．a、b、c都是奇數 b．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數
c．a、b、c都是偶數 d．a、b、c中至少有兩個偶數
2、用反證法證明命題「三角形的內角中至少有乙個不大於60°」時，反證假設正確的是（ ）
a．假設三內角都不大於60b．假設三內角都大於60°
c．假設三內角至多有乙個大於60d．假設三內角至多有兩個大於60°
3、證明：在乙個三角形中至少有兩個角是銳角．
【知識點五：直角三角形】
1、直角三角形的有關知識．
● 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方；
● 勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形；
● 在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
2、互逆命題、互逆定理
在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題.
初二下三角形的證明
三角形的證明練習姓名 一 互逆命題 1.2011山東德州 下列命題中，其逆命題成立的是只填寫序號 同旁內角互補，兩直線平行 如果兩個角是直角，那麼它們相等 如果兩個實數相等，那麼它們的平方相等 如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那麼這個三角形是直角三角形 2.2011四川涼山州 把命題 如果直角三角...
三角形全等的證明教案
知識梳理 一 三角形概述 1 定義 包括內 外角 2 性質 三角形的邊角關係 角與角 內角和及推論 外角和 n邊形內角和 n邊形外角和。邊與邊 三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。角與邊 在同一三角形中 3 三角形的主要線段 1 定義 高線 中線 角平分線 中垂線 2 線的交點 三角形的 ...
三角形的證明測試題新北師大版
6 如圖1 z 4所示，在 abc中，abc和 acb的平分線交於點e，過點e作mn bc交ab於m，交ac於n，若bm 9，則線段mn的長為 a 6 b 7 c 8 d 9 7 如圖1 z 5所示，在 abc中，cd平分 abc，a 80 acb 60 那麼 bdc a 80 b 90 c 100...