泰安第十九中學2016—2017學年度第二次月考考試
高三數學試題（理科）
本試卷分第i卷(選擇題)和第ii卷(非選擇題)兩部分，滿分150分．考試時間120分鐘．
一、 選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共60 分． ）
1. 集合，集合，則
a. bc. d.
2．設，且，則向量與向量夾角為
a. b. c. d.
3.下列各式中錯誤的是
a． b． c． d．
4．函式是定義在上的奇函式，當時，則的值為
abcd．
5.要得到函式的影象，只需將函式的影象
a.向左平移個單位b.向右平移個單位
c.向左平移個單位d.向右平移個單位
6. 函式的乙個零點落在下列哪個區;間
a. (0,1) b. (1,2) c. (2,3) d. (3,4)
7．下列四個結論中正確的個數是
是的充分不必要條件；
命題：的否定是；
若則的逆命題為真命題；
若是上的奇函式，則
a. 0 b. 1 c. 2 d.3
8. 為奇函式，該函式的部分圖象如圖所示，是邊長為的等邊三角形，則的值為
a． b． c． d．
9．函式的圖象大致是
a b
c d
10. 已知函式是定義在r上的可導函式，為其導函式，若對於任意實數，都有，其中為自然對數的底數，則（ ）
a b
c d 與大小關係不確定
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 已知，則
12．若曲線的一條切線與直線垂直，則該切線方程為
13. 已知，則的值為
14．計算定積分
15．函式的圖象形如漢字「囧」，故稱其為「囧函式」.
下列命題正確的是
①「囧函式」的值域為囧函式」在上單調遞增；
③「囧函式」的圖象關於軸對稱； ④「囧函式」有兩個零點；
⑤「囧函式」的圖象與直線至少有乙個交點.
三、解答題（本大題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟）
16．若，求下列各式的值。
（1） ；
（2）17.（本題滿分12分）已知向量，，函式．
（1）求函式的解析式；
（2）當時，求的單調遞增區間；
18.（本題滿分12分）已知函式，
（1）求的最小值；
（2）若對所有都有，求實數的取值範圍.
19．（本題滿分12分）已知函式（為常數且），函式的圖象關於直線對稱.
（i）求函式的最小正週期；
（ii）在中，角a,b,c的對邊分別為，若，求面積的最大值.
20．某市新建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m公尺，餘下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經**，乙個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x公尺的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為（2+）x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記餘下工程的費用為y萬元．
（1）試寫出y關於x的函式關係式；
（2）當m=96公尺時，需新建多少個橋墩才能使餘下工程的費用y最小？
21.（本題滿分14分）已知函式．
（ⅰ）當時，求的極值；
（ⅱ）當時，討論的單調性；
選擇題填空題 11． 12. 13. 14. 15. （3）（5）
解答題16.
17. 【解】（1）∵
∴∴（2）由，
解得，∵取和且，得和，
∴的單調遞增區間為和
18.解：（1）的定義域為，的導數.
令，解得；令，解得.
從而在單調遞減，在單調遞增.
所以，當時，取得最小值.
（2）依題意，得在上恆成立，
即不等式對於恆成立 .
令， 則.
當時，因為，
故是上的增函式， 所以的最小值是，
所以的取值範圍是.
19.20導數在最大值、最小值問題中的應用．
【分析】（1）根據題意設出橋墩和橋面工程量，然後根據題意建立工程總費用與工程量的函式關係．
（2）當m=96公尺時，代入已知函式表示式，求出此時的函式表示式，並求導，根據導數與函式單調性的關係求出最值以及此時x的值．
解：（1）設需新建n個橋墩，則（n+1）x=m，即n=﹣1，…
所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+）x=32（﹣1）+（2+）m
=m（+）+2m﹣32，（ 0＜x＜m）…
（2）當m=96時，f（x）=96（+）+160
則f′（x）=．…
令f′（x）=0，得=64，所以x=16
當0＜x＜16時，f′（x）＜0，f（x）在區間（0，16）內為減函式；
當16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在區間（16，96）內為增函式．
所以f（x）在x=16處取得最小值．此時n=﹣1=5…
故需新建5個橋墩才能使餘下工程的費用y最小．…
21.【解】（ⅰ）當時，，定義域為，
的導函式．分
當時，，在上是減函式；
當時，，在上是增函式．分
∴當時，取得極小值為，無極大值．
（ⅱ）當時，的定義域為，的導函式為．
由得，，．
（1）當時，在上是減函式，在上是增函式，在上是減函式；
（2）當時，在上是減函式；
（3）當時，在上是減函式，在上是增函式，
在上是減函式．
綜上所述，
當時，在上是減函式，在上是增函式；
當時，在上是減函式；
當時，在上是減函式，在上是增函式．
（ⅲ）由（ⅱ）知，當時，在上是減函式．
∴．∵對於任意的都有，
∴對任意恆成立，
∴對任意恆成立．
當時，，∴．
∴實數的取值範圍為．
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