2010學年杭州學軍中學高三年級第二次月考
數學（理）試卷
一、 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的, 請將答案填入答題卡中）
1．命題「若=0,則=0或=0」的逆否命題是
a．若=0或=0,則=0 b．若，則或
c．若且,則 d．若或則
2．設集合，則滿足條件的集合p的個數是（ ）
a．1 b．3 c．4 d．8
3.下列命題中的真命題是
a．,使得b.
cd．4．設m為實數區間， 「」是「函式在（0，1）上單調遞增」的乙個充分不必要條件，則區間m可以是
a． b．（1，2） c．（0，1） d．
5．已知為正數，關於的一元二次方程有兩個相等的實數根．則方程的實數根的個數是（ ）
a. 0 或1 b. 1或2 c. 0或2d. 不確定
6.已知函式，其中，則下列結論中正確的是 ( )
a．是最小正週期為的偶函式b．的一條對稱軸是
c．的最大值為 d．將函式的圖象左移得到函式的圖象
7.已知函式是上的偶函式，若對於，都有，且當時，，則的值為( )
a． b． c． d．
8．如圖，函式的大致圖象是（ ）
abcd．
9．已知對映．設點，，點m 是線段ab上一動點，．當點m**段ab上從點a開始運動到點b結束時，點m的對應點所經過的路線長度為
a． b． c． d．
10．已知函式關於下列命題正確的個數是（ ）
① 函式是週期函式； ②函式既有最大值又有最小值；③函式的定義域是r，且其圖象有對稱軸；④對於任意（是函式的導函式）．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
二、 填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
11．函式的圖象的對稱中心的是
12．函式的單調增區間是
13．已知，則=＿＿＿＿
14.函式的值域為
15．已知函式，集合m＝，n＝，則集合所表示的平面區域的面積是 ．
16．使得關於x的不等式ax≥x≥logax(017．已知函式的圖象如下所示：
給出下列四個命題：
（1）方程有且僅有6個根（2）方程有且僅有3個根
（3）方程有且僅有5個根 （4）方程有且僅有4個根
其中正確命題是
三、解答題（本大題共5小題，共72分）
18.已知函式
（1）當時，求函式的值域；
（2）若，且，求）的值．
19.在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且
（1）求cosb的值；
（2）若，且，求的值.
20.某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現準備制定乙個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：
萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（ⅰ）若建立函式模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函式模型的基本要求；
（ⅱ）現有兩個獎勵函式模型：（1）y＝；（2）y＝4lgx－3．試分析這兩個函式模型是否符合公司要求？
21．（本題滿分13分）對於定義在區間d上的函式，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈d，當時，恆成立，則稱函式為區間d上的「平底型」函式．
（1）判斷函式和是否為r上的「平底型」函式？並說明理由；
（2）設是（1）中的「平底型」函式，k為非零常數，若不等式對一切r恆成立，求實數的取值範圍；
（3）若函式是區間上的「平底型」函式，求和的值．
22.已知函式．
（1）求函式的單調區間；
（2）若函式的圖象在點處的切線的傾斜角為，對於任意的，函式在區間上總不是單調函式，求的取值範圍；
（3）求證：．
2010學年杭州學軍中學高三年級第二次月考
數學（理）答卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，答案請填入答題卡中）
二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
111213
141516
17三、解答題（本大題共5小題，共72分）
18、19、
20、21、
22、2010學年杭州學軍中學高三年級第二次月考
數學（理）答案
一、ccbda dcccb
二、11．
12.13.
14．15. π
17.(1)(3)(4)
18.由已知
當時，故函式，的值域是（3，6
（ii）由，得，即
因為），所以
故19． （i）解：由正弦定理得，
因此 …………6分
（ii）解：由，
所以20．【解】（ⅰ）設獎勵函式模型為y＝f（x），則公司對函式模型的基本要求是：
當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函式；②f（x）≤9恆成立；③恆成立
（ⅱ）（1）對於函式模型：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函式，
則．所以f（x）≤9恆成立
因為函式在[10，1000]上是減函式，所以．
從而，即不恆成立．
故該函式模型不符合公司要求
（2）對於函式模型f（x）＝4lgx－3：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函式，則．
所以f（x）≤9恆成立
設g（x）＝4lgx－3－，則．
當x≥10時，，所以g（x）在[10，1000]上是減函式，從而g（x）≤g（10）＝－1＜0．所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恆成立．
故該函式模型符合公司要求
21．【解】（1）對於函式，當時，．
當或時，恆成立，故是「平底型」函式．
對於函式，當時，；當時，．
所以不存在閉區間，使當時，恆成立．故不是「平底型」函式．
（ⅱ）若對一切r恆成立，
則．所以．又，則．
則，解得．故實數的範圍是．
（ⅲ）因為函式是區間上的「平底型」函式，
則存在區間和常數，
使得恆成立．
所以恆成立，
即．解得或． 當時，．
當時，，當時，恆成立．
此時，是區間上的「平底型」函式．
當時，．
當時，，當時，．
此時，不是區間上的「平底型」函式． 綜上分析，m＝1，n＝1為所求．
22．（ⅰ） ,
當時，的單調增區間為，減區間為；
當時，的單調增區間為，減區間為；
當時，不是單調函式
（ⅱ）得，
∴，∴-----
∵在區間上總不是單調函式，且∴ -------
由題意知：對於任意的，恆成立，
所以，，∴
（ⅲ）令此時，所以，
由（ⅰ）知在上單調遞增，∴當時，即，∴對一切成立，
∵，則有，∴
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