一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1．已知α為銳角，，則=（）
a． b． c． ﹣7 d． 7
2．在△abc中，a=15，b=10，a=60°，則此三角形解的個數為（）
a． 0 b． 1 c． 2 d． 無數個
3．已知sinα+cosα=，則sin2（﹣α）=（）
a． b． c． d．
4．等差數列的前n項和為sn，s5=﹣5，s9=﹣45，則a4的值為（）
a． ﹣1 b． ﹣2 c． ﹣3 d． ﹣4
5．已知向量，滿足||=2，||=1，且（+）=3，則向量與的夾角為（）
a． 60° b． 30° c． 150° d． 120°
6．化簡2+的結果是（）
a． 2sin5 b． 4cos5+2sin5 c． ﹣4cos5﹣2sin5 d． ﹣2sin5
7．設等比數列的前n項積為，已知am﹣1am+1﹣2am=0，且t2m﹣1=128，則m值（）
a． 3 b． 4 c． 5 d． 6
8．等差數列的前n項和為sn，且滿足s15＞0，s16＜0，則中最大的項為（）
a． b． c． d．
9．設向量，，滿足||=||=10，則||的最大值為（）
a． b． c． d． 1
10．等差數列的公差d∈（﹣1，0），=1，且a1=，則使得數列的前n項和sn＞0的n的最大值為（）
a． 11 b． 10 c． 9 d． 8
二、填空題：本大題共7小題，每小題3分，共21分．
11．已知向量=（2，1），=（﹣1，3），⊥（﹣λ），則實數λ=．
12．已知正項等比數列的前n項和為sn，若s3=3，s9﹣s6=12，則s6=．
13．已知cos（﹣α）=，sin則sin（α+β）=．
14．在△abc中，如果sina=sinc，b=30°，那麼角a=．
15．設數列是以1為首項，2為公差的等差數列，數列是以1為首項，2為公比的等比數列，則a+a+…+a=．
16．在△abc中，m是bc的中點，am=5，bc=8，則=．
17．若鈍角三角形三內角的度數依次成等差數列，且最小邊長與最大邊長的比值為m，則m的取值範圍是．
三、解答題：本大題共5小題，共49分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．已知函式f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x
（1）求f（x）的最小正週期和對稱軸；
（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．
19．在△abc中，a，b，c分別為內角a，b，c所對的邊，且滿足（2a﹣c）cosb=bcosc．
（1）求角b；
（2）若b=，a﹣c=3，求△abc的面積．
20．設數列是等差數列，數列是各項都為正數的等比數列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．
（1）求數列，的通項公式；
（2）求數列{}的前n項和tn．
21．設向量=（λ+2，λ2﹣cosα），=（m，），其中λ，m，α為實數．
（1）若λ=m=0，=cos2α+，求tanα；
（2）若=2，求的取值範圍．
22．已知數列滿足b1=，bn+1=1﹣（n∈n*），設an=
（1）求證：數列是等差數列；
（2）數列為等比數列，且c1=5，c2=8，若對任意的n∈n*都有k（2cn﹣7）＜an成立，求實數k的取值範圍．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1．已知α為銳角，，則=（）
a． b． c． ﹣7 d． 7
考點： 兩角和與差的正切函式；同角三角函式基本關係的運用．
專題： 計算題．
分析： 根據同角三角函式的基本關係求出 cosα=，tanα==．再利用兩角和的正切公式求出的值．
解答： 解：∵已知α為銳角，，
∴cosα=，
∴tanα==．
∴==﹣7，
故選c．
點評： 本題主要考查同角三角函式的基本關係的應用，兩角和的正切公式的應用，屬於中檔題．
2．在△abc中，a=15，b=10，a=60°，則此三角形解的個數為（）
a． 0 b． 1 c． 2 d． 無數個
考點： 正弦定理．
專題： 解三角形．
分析： 利用正弦定理列出關係式，把a，b，sina的值代入求出sinb的值，根據b小於a，得到b小於a，即可做出判斷．
解答： 解：∵在△abc中，a=15，b=10，a=60°，
∴由正弦定理=得：sinb===，
∵b＜a，∴b＜a，
則b只有一解．
故選：b．
點評： 此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函式值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．
3．已知sinα+cosα=，則sin2（﹣α）=（）
a． b． c． d．
考點： 二倍角的余弦；二倍角的正弦．
專題： 三角函式的求值．
分析： 由條件求得2sinαcosα=﹣，再根據sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα），計算求得結果
解答： 解：∵sinα+cosα=，則1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣．
sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα）=（1+）=，
故選：b．
點評： 本題主要考查同角三角函式的基本關係，二倍角公式的應用，屬於中檔題．
4．等差數列的前n項和為sn，s5=﹣5，s9=﹣45，則a4的值為（）
a． ﹣1 b． ﹣2 c． ﹣3 d． ﹣4
考點： 等差數列的性質．
專題： 等差數列與等比數列．
分析： 由題意和等差數列的性質可得a3和a5，再由等差數列的性質可得a4=，代值計算可得．
解答： 解：由題意和等差數列的性質可得s5===5a3=﹣5，
解得a3=﹣1，同理可得s9=9a5=﹣45，解得a5=﹣5，
再由等差數列的性質可得a4==﹣3
故選：c
點評： 本題考查等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬基礎題．
5．已知向量，滿足||=2，||=1，且（+）=3，則向量與的夾角為（）
a． 60° b． 30° c． 150° d． 120°
考點： 數量積表示兩個向量的夾角．
專題： 平面向量及應用．
分析： 設向量與的夾角為θ，由已知資料可得cosθ的方程，解方程可得夾角．
解答： 解：設向量與的夾角為θ，
∵||=2，||=1，且（+）=3，
∴+=4+2×1×cosθ=3，
解得cosθ=，∴θ=120°
故選：d
點評： 本題考查數量積與向量的夾角，屬基礎題．
6．化簡2+的結果是（）
a． 2sin5 b． 4cos5+2sin5 c． ﹣4cos5﹣2sin5 d． ﹣2sin5
考點： 二倍角的余弦．
專題： 三角函式的求值．
分析： 利用二倍角公式化簡要求的式子為2|cos5+sin5|+2|cos5|，再根據5∈（，2π）、cos5＞0、sin5＜0、|cos5|＞|sin5|，去掉絕對值得到結果．
解答： 解：2+=2+=2|cos5+sin5|+2|cos5|．
由於5是第四象限角，且5∈（，2π），故cos5＞0、sin5＜0、|cos5|＞|sin5|，
∴cos5+sin5＞0，
∴2|cos5+sin5|+2|cos5|=2（cos5+sin5）+2cos5=4cos5+2sin5，
故選：b．
點評： 本題主要考查二倍角公式，三角函式在各個象限中的符號，屬於基礎題．
7．設等比數列的前n項積為，已知am﹣1am+1﹣2am=0，且t2m﹣1=128，則m值（）
a． 3 b． 4 c． 5 d． 6
考點： 等比數列的性質．
專題： 計算題；等差數列與等比數列．
分析： 由am﹣1am+1﹣2am=0，結合等比數列的性質可得am=2，從而可表示t2m﹣1，由此可求m的值．
解答： 解：∵am﹣1am+1﹣2am=0，∴由等比數列的性質可得，am2﹣2am=0
∵am≠0，∴am=2
∵t2m﹣1=a1a2…a2m﹣1=（a1a2m﹣1）（a2a2m﹣2）…am=am2m﹣2am=am2m﹣1=22m﹣1=128
∴2m﹣1=7，∴m=4
故選b．
點評： 本題考查了等比數列的性質，考查學生的計算能力，屬於中檔題．
8．等差數列的前n項和為sn，且滿足s15＞0，s16＜0，則中最大的項為（）
a． b． c． d．
考點： 等差數列的性質；等差數列的前n項和．
專題： 計算題；等差數列與等比數列．
分析： 根據數列為等差數列，根據s15＞0，s16＜0，我們可以得到a8＞0，a9＜0，由此結合等差數列的性質，即可得到結論．
解答： 解：∵數列為等差數列，且s15＞0，s16＜0，
∴a8＞0，a8+a9＜0，即a9＜0，
則的前8項為正，第9到15項為負，且前8項中，分子不斷變大，分母不斷減小
∴中最大的項為
故選c．
點評： 本題考查等差數列的性質，其中根據已知中s15＞0，s16＜0，判斷a8＞0，a9＜0，是解答本題的關鍵．
9．設向量，，滿足||=||=10，則||的最大值為（）
a． b． c． d． 1
考點： 平面向量數量積的座標表示、模、夾角．
專題： 平面向量及應用．
分析： 建立座標系，以，的角平分線所在直線為x軸，使得的座標為（，），的座標為（，﹣），設的座標為（x，y），由條件可得得 +y2=，表示以（，0）為圓心，半徑等於的圓．求出圓心到原點的距離，再加上半徑，即得所求．
解答： 解：建立座標系，以，的角平分線所在直線為x軸，使得的座標為（，），的座標為（，﹣），設的座標為（x，y），
則由已知（ ﹣）（ ﹣）=0，可得 （，）（，）=0．
化簡可得 +y2=，表示以（，0）為圓心，半徑等於的圓．
本題即求圓上的點到原點的距離的最大值，由於圓心到原點的距離等於，故圓上的點到原點的距離的最大值為+，
故選a．
點評： 本題考查平面向量數量積的運算，本題解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，根據數形結合思想求出向量的模長，屬於基礎題．
10．等差數列的公差d∈（﹣1，0），=1，且a1=，則使得數列的前n項和sn＞0的n的最大值為（）
a． 11 b． 10 c． 9 d． 8
考點： 數列與三角函式的綜合．
專題： 等差數列與等比數列；三角函式的求值．
分析： 運用二倍角公式和兩角和差的余弦公式以及積化和差、和差化積公式的運用，結合等差數列的通項，可得sin3d=﹣1，3d=﹣，即為d=﹣，運用等差數列的求和公式，結合二次不等式的解法，化簡計算即可得到n的最大值．
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