湖北省棗陽市育才中學2015-2016學年度下學期高一年級開學考試數學試題
學校姓名班級考號
1．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．函式的圖象上一點處的切線的斜率為（ ）
a． b． c． d．
2．在邊長為4的等邊中，的值等於（ ）
a．16bcd． 8
3．若函式的圖象是連續不斷的，且，，則下列命題正確的是( )．
a．函式在區間(0 , 1)內有零點
b．函式在區間(1 , 2)內有零點
c．函式在區間(0 , 2)內有零點
d．函式在區間(0 , 4)內有零點
4．下列判斷正確的是（ ）
a． b．
cd．5．若集合，且，則集合可能是（ ）
a． bcd．
6．已知函式的圖象為曲線，給出以下四個命題：
①若點在曲線上，過點作曲線的切線可作一條且只能作一條；
②對於曲線上任意一點，在曲線上總可以找到一點，使和的等差中項是同乙個常數；
③設函式，則的最小值是0；
④若在區間上恆成立，則a的最大值是1．其中真命題的個數是
a．1 b．2 c．3 d．4
7．下列函式中，滿足的單調遞增函式是（ ）
ab．cd．8．函式y＝sin22x是( )．
a．週期為π的奇函式 b．週期為π的偶函式
c．週期為的奇函式 d．週期為的偶函式
9． 的值是( )
abcd.
10．已知向量 , 若a//b, 則實數m等於
(abc)或 (d)0
11．定義集合運算：設，，則集合的所有元素之和為
a．0 b．2 c．3 d．6
12．已知，若，則（ ）.
abcd.
二．填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．如圖，在等腰三角形abc中，已知ab=ac=1，a=，e，f分別是邊ab，ac上的點，
且其中若ef，bc的中點分別為m，n，且則的最小值是 .
14．已知函式y=f（x）對於任意x∈r有，且當x∈[-1，1]時，，則以下命題正確的是：
①函式數y=f（x）是週期為2的偶函式；
②函式y=f（x）在[2，3]上單調遞增；
③函式的最大值是4；
④若關於x的方程有實根，則實數m的範圍是[0，2];
⑤當時，.
其中真命題的序號是
15．函式y=2cos 2x+sin2x的最小值
16．函式的值域是 ．
三、解答題（70分）
17．(10分）已知冪函式的圖象過點，試求出此函式的解析式，
並作出圖象，判斷奇偶性、單調性．
18．（本題滿分12分）判斷函式在上的單調性，並給出證明．
19．(12分）已知．
（１）求函式的最小正週期．
（２）求函式在閉區間上的最小值並求當取最小值時，的取值集合．
20．（滿分14分）已知集合.
（ⅰ）若；
（ⅱ）若，求實數a.
21．（本小題滿分14分）已知函式.
(l)求的單調區間和極值；
(2)若對任意恆成立，求實數m的最大值．
22．（本大題9分）已知是定義在r上的奇函式，當時，
（1）求的表示式；
（2）設0參***
1．d【解析】解：因為，故選d
2．c【解析】解：因為邊長為4的等邊中，選c
3．d【解析】解：因為f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，則f（1），f（2），f（4）恰有一負兩正或三個都是負的，結合圖象
可得函式f（x）必在區間（0，4）內有零點因為f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，則f（1），f（2），f（4）恰有一負兩正或三個都是負的，
函式的圖象與x軸相交有多種可能，如圖所示：
所以函式f（x）必在區間（0，4）內有零點，
故選d．
4．a【解析】
試題分析：在區間上單調遞增，且，，；選項b,c利用指數函式的單調性可排除；選項d：；故選a.
考點：指數函式、冪函式的單調性.
5．a【解析】
試題分析：由知，故選
考點：集合的交集．
6．c【解析】
試題分析：對於①，取，設過點的切線切點為，則即……（*），顯然（*）式有三解，即過點的切線有三條，故①錯；對於②，因為函式的定義域為，所以易得②正確；對於③，，又，即，故③正確；對於④，即，化簡可得，當時，恆成立，所以要使即恆成立，所以又，所以，故④正確；所以②③④正確，故選c．
考點：1．導數的幾何意義；2．不等式恆成立；3．轉化與化歸思想．
7．a【解析】
試題分析：選項a中，，則且為增函式，故a正確；選項b中，，與不相等，故b錯誤；同理選項c、d錯誤．故正確答案選a．
考點：函式的解析式與單調性．
8．d【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，則週期為：＝，且為偶函式．
9．c【解析】，更一般的結論
10．c
【解析】,所以選c
11．d
【解析】因。
12．d
【解析】
試題分析：由
考點：函式求值
13．【解析】
試題分析：由m，n為ef，bc的中點得：，所以，因為，，所以，因此當時，取最小值.
考點：向量表示
14．①②④
【解析】
試題分析：，所f（x）是週期為2的函式，故①正確；又因為當x∈[-1，1]時，，可知f（x）的圖象
由影象可知②正確；由圖象可知f（x）=t∈[1，2]，函式在[1，2]上單調遞減，所以最大值為5，最小值為4，故③錯誤；因為x的方程有實根，所以，因為f（x）∈[1，2]，所以∈[0，2]，故m的範圍是[0，2]；⑤有影象可知當時，，故⑤錯誤.
考點：函式的性質.
15．1﹣
【解析】
試題分析：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+=1+
當=2k，有最小值1﹣,故答案為1﹣
考點：二倍角公式, 三角函式的有界性,輔助角公式，三角函式的最值．
16．【解析】
試題分析：因為函式單調遞減，所以，故.
考點：利用函式的單調性求函式的值域.
17．；為非奇非偶函式，由圖可知，函式在遞減
【解析】依題意設，則，解得．所以，．
其圖象大致為：
因為，所以為非奇非偶函式，由圖可知，函式在遞減．
18．減函式
【解析】
試題分析：證明函式單調性一般採用定義法，從定義域上任取，通過作差的方法比較的大小，若則函式是增函式，若則函式是減函式
試題解析：是減函式．
證明：設，則，
，．在上是減函式．
考點：函式單調性
19．(1);(2),
【解析】
試題分析：(1)
,故週期;(2) 當即時,為減函式,所以在上減 , 所以當時,取得最小值，此時的集合是.
試題解析：（1）
， 所以
（2）當即時,為減函式,
所以在上減 ,
所以當時,取得最小值，此時的集合是
考點：1.三角恒等變換;2.三角函式的和角公式與差角公式;3.三角函式的性質
20．（ⅰ） （ⅱ）
【解析】
試題分析：集合的交並補運算常借助於數軸求解，將兩集合標註在數軸上，求交集需找兩集合重合的部分，兩集合交集為空集則需滿足兩集合無重合部分，求解時集合a需分是否為空集兩種情況
試題解析：（ⅰ）當時 2分
5分（ⅱ）當，從而故符合題意 8分
當時，由於，故有 10分
解得13分
綜上所述實數a的取值範圍是 14分
考點：集合的交集運算
21．(1)單增區間，單減區間，極小值；(2).
【解析】
試題分析：(1)先對函式求導得到，然後分別求出以及時的的取值集合，這兩個取值集合分別對應函式的單調增區間和單調減區間，根據函式的單調性可知函式在處取得極小值，求出即可；(2)根據，先將式子化簡得，，建構函式，利用函式的單調性以及導數的關係，先求出函式的零點，再討論函式在零點所分區間上的單調性，據此判斷函式在點取得最小值，這個最小值即是的最大值.
試題解析：（1) ∵，
∴，當時，有 ，∴函式在上遞增3分
當時，有 ，∴函式在上遞減5分
∴在處取得極小值，極小值為6分
(2)即 ，又8分
令10分
令，解得或 （舍），
當時，，函式在上遞減，
當時，，函式在上遞增12分
13分即的最大值為14分
考點：1.函式求導；2.函式的單調性與導數的關係；3.不等式恆成立問題；4.利用導數研究函式的極值；5.解不等式
22．(1)f(x)=
（2）a=1,b=
【解析】（1）因為f(x)為奇函式，所以用-x代替x,用-f(x)代替f(x)代入,即可得到x<0的解析式，從而得到f(x)在r上的解析式.
（2）由於0
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