2023年四川省高中數學聯合競賽決賽第四題是一道平面幾何題.原題：如圖1，設是的bc邊外的旁切圓，d、e、f分別是與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，求證：
ak平分bc.
貴州教育學院李小雪先生應用射影幾何的觀點研究了此題，給出了純幾何證法的證明.湖南師範大學數學系沈文選教授在他的近作《平面幾何證明方法全書》三次證明此題，方法是三角法、射影變換法、應用張角定理.由此我們可以看出此題是一道有背景的重要的幾何題.
我們擬給出解析證法，並把它推廣到圓錐曲線中去.
在證明過程中，要用到以下引理：
（1）.若點為圓外一點，過點引圓的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（2）. 若點為橢圓外一點，過點引橢圓的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（3）. 若點為雙曲線外一點，過點引雙曲線的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（4）. 若點為拋物線外一點，過點引拋物線的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
1.競賽題的解析證法
證明：如圖2，以旁切圓的圓心o為原點，直線od為軸，過o點垂直於od的直線為軸.建立直角座標系，設旁切圓方程為，則點d的座標為（0，r），直線bc的方程為.
設點a的座標為，則有切點弦ef的方程為………①
兩條切線af、ae的方程為
…②在方程①中，令，得，則點的座標為.
直線的方程為：……③.
將代入方程③解得.
設與交於點，點的座標為.
把代入方程②並整理得：.
設點、的座標分別為，由韋達定理得
，中點的橫座標為，的中點座標為.與點的座標相同.
所以點為的中點，即直線平分.
2.競賽題在圓錐曲線中的推廣
定理1：如圖3，橢圓旁切於的邊外，d、e、f分別是橢圓與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，則有ak平分bc.
證明：設點a座標為，點d座標為，ak與bc相交於點m.
則過點d的切線方程為：………①
由引理2可知過點a的兩切線方程為：
………②
切點弦ef的方程為………③
直線do的方程為：………④
聯立③、④可得k點座標為：
.直線ak的方程為：
………⑤
聯立①⑤可得點m的橫座標：
設點b、c的橫座標為、，b、c的中點橫座標為，
聯立①②可得關於的一元二次方程：
由韋達定理可得
點m與b、c中點橫座標相等，又都在切線方程①上，則它們的縱座標也相等，這兩點是同一點，所以m為線段bc的中點，即直線ak平分bc.
定理2：如圖4，雙曲線旁切於的邊外，d、e、f分別是雙曲線與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，則有ak平分bc.
定理2的證明與定理1的證明類似，由於篇幅所限，不再贅述.
定理3：如圖5，拋物線旁切於△abc的bc邊外，d、e、f分別是拋物線與bc、ca和ab的切點，過點d作x軸的平行線與ef交於點k，則有ak平分bc.
證明：設點a座標為，點d座標為，ak與bc相交於點h.
則有，過點d的切線方程為： ………①
由引理2可知過點a的兩切線方程為
………②
切點弦ef的方程為………③
聯立可求得點k座標為：，
進而可得直線ak方程為： ……④
聯立①④可得點h的橫座標：
設點b、c的橫座標為、，b、c的中點橫座標為，
聯立①②可得關於x的一元二次方程：
由韋達定理可得
即點h與b、c中點橫座標相等，又都在切線方程①上，則它們的縱座標也相等，這兩點是同一點，所以h為線段bc的中點，即直線ak平分bc.
若是的內切圓，其他條件不變，結論依然成立，用解析法證明的步驟完全相同.
這是證明一類三角形旁切圓、內切圓問題的方法之一.這種方法的優點是思路統一,可以推廣到圓錐曲線中.
一道高中數學競賽題在圓錐曲線中的推廣
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