2023年四川省高中數學聯合競賽決賽第四題是一道平面幾何題.原題：如圖1，設是的bc邊外的旁切圓，d、e、f分別是與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，求證：
ak平分bc.
貴州教育學院李小雪先生應用射影幾何的觀點研究了此題，給出了純幾何證法的證明.湖南師範大學數學系沈文選教授在他的近作《平面幾何證明方法全書》三次證明此題，方法是三角法、射影變換法、應用張角定理.由此我們可以看出此題是一道有背景的重要的幾何題.
我們擬給出解析證法，並把它推廣到圓錐曲線中去.
在證明過程中，要用到以下引理：
（1）.若點為圓外一點，過點引圓的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（2）. 若點為橢圓外一點，過點引橢圓的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（3）. 若點為雙曲線外一點，過點引雙曲線的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
（4）. 若點為拋物線外一點，過點引拋物線的兩條切線方程為：；
切點弦的方程為：.
1.競賽題的解析證法
證明：如圖2，以旁切圓的圓心o為原點，直線od為軸，過o點垂直於od的直線為軸.建立直角座標系，設旁切圓方程為，則點d的座標為（0，r），直線bc的方程為.
設點a的座標為，則有切點弦ef的方程為………①
兩條切線af、ae的方程為
…②在方程①中，令，得，則點的座標為.
直線的方程為：……③.
將代入方程③解得.
設與交於點，點的座標為.
把代入方程②並整理得：.
設點、的座標分別為，由韋達定理得
，中點的橫座標為，的中點座標為.與點的座標相同.
所以點為的中點，即直線平分.
2.競賽題在圓錐曲線中的推廣
定理1：如圖3，橢圓旁切於的邊外，d、e、f分別是橢圓與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，則有ak平分bc.
證明：設點a座標為，點d座標為，ak與bc相交於點m.
則過點d的切線方程為：………①
由引理2可知過點a的兩切線方程為：
………②
切點弦ef的方程為………③
直線do的方程為：………④
聯立③、④可得k點座標為：
.直線ak的方程為：
………⑤
聯立①⑤可得點m的橫座標：
設點b、c的橫座標為、，b、c的中點橫座標為，
聯立①②可得關於的一元二次方程：
由韋達定理可得
點m與b、c中點橫座標相等，又都在切線方程①上，則它們的縱座標也相等，這兩點是同一點，所以m為線段bc的中點，即直線ak平分bc.
定理2：如圖4，雙曲線旁切於的邊外，d、e、f分別是雙曲線與bc、ca和ab的切點，若od與ef交於k，則有ak平分bc.
定理2的證明與定理1的證明類似，由於篇幅所限，不再贅述.
定理3：如圖5，拋物線旁切於△abc的bc邊外，d、e、f分別是拋物線與bc、ca和ab的切點，過點d作x軸的平行線與ef交於點k，則有ak平分bc.
證明：設點a座標為，點d座標為，ak與bc相交於點h.
則有，過點d的切線方程為：………①
由引理2可知過點a的兩切線方程為
………②
切點弦ef的方程為………③
聯立可求得點k座標為：，
進而可得直線ak方程為： ……④
聯立①④可得點h的橫座標：
設點b、c的橫座標為、，b、c的中點橫座標為，
聯立①②可得關於x的一元二次方程：
由韋達定理可得
即點h與b、c中點橫座標相等，又都在切線方程①上，則它們的縱座標也相等，這兩點是同一點，所以h為線段bc的中點，即直線ak平分bc.
若是的內切圓，其他條件不變，結論依然成立，用解析法證明的步驟完全相同.
這是證明一類三角形旁切圓、內切圓問題的方法之一.這種方法的優點是思路統一,可以推廣到圓錐曲線中.
參考文獻:
1.李小雪:《射影幾何的乙個應用—談談兩道競賽題的解法》.數學通報,2023年第10期.
2.單墫、杜錫錄等.《初等數學能力訓練》，山東科學技術出版社，2023年.
選校網 高考頻道專業大全歷年分數線上萬張大學**大學**院校庫 (按ctrl 點選開啟)
選校網（是為高三同學和家長提供高考選校資訊的乙個**。國內目前有2000多所高校，高考過後留給考生和家長選校的時間緊、高校多、專業數量更是龐大，高考選校資訊紛繁、複雜，高三同學在面對高考選校時會不知所措。選校網就是為考生整理高考資訊，這裡有1517專業介紹，近2000所高校簡介、**、**資訊。
選校網，力致成為您最強有力的選校工具！
產品介紹：
1.大學搜尋：介紹近2000所高校最詳細的大學資訊，包括招生簡章，以及考生最需要的學校招生辦公室****及學校位址等.
2.高校專業搜尋：這裡包含了中國1517個專業介紹，考生查詢專業一目了然，同時包含了專業就業資訊，給考生報考以就業參考。
3.**搜尋：這裡有11萬張全國高校清晰**，考生查詢學校環境、校園風景可以一覽無餘。
4**搜尋：**搜尋包含了6162個**資訊，大學**、城市**、訪談**都會在考生選校時給考生很大幫助。
5.問答：對於高考選校資訊或者院校還有其他疑問將自己的問題寫在這裡，你會得到詳盡解答。
6新聞：高考新聞、大學新聞、報考資訊等欄目都是為考生和家長量身定做，和同類新聞**相比更有針對性。
7.千校榜：把高校分成各類，讓考生選校時根據類別加以區分，根據排名選擇自己喜歡的高校。
8選校課堂：這裡全部的資訊都是以考生選校、選校技巧、經驗為核心，讓專家為您解答高考選校的經驗和技巧。
9.陽光大廳：考生經過一年緊張的學習生活心理壓力有待緩解和釋放，陽光大廳給家長以心靈啟示，給考生心裡以陽光。
10.港澳直通：很多考生都夢想去香港澳門讀大學，港澳直通，給考生的夢想乙個放飛的地方，港澳直通囊括了港澳大學的所有資訊，將一切更直觀的呈現給考生。
11.選校社群：註冊您真是的資訊，在這裡可以和大家分享您所在城市的到校資訊，讀到好的選校文章也可以拿到這裡，讓大家共同品嚐，您還可以加入到不同的大學、專業、城市群組，和大家一起討論這些話題分享資訊。
選校網，為你整合眾多高考選校資訊，只為考生、家長能夠從中受益。讓我們共同為考生的未來，努力！
我們在不斷完善，以更加符合家長和同學們的需求。
陸續我們將推出城市印象頻道，讓大家了解學校所在城市的詳細情況；預報名系統(為您更加準確地根據高考分數填報志願提供利器.......
一切，貴在真實。
一道高中數學競賽題在圓錐曲線中的推廣 2
1991年四川省高中數學聯合競賽決賽第四題是一道平面幾何題.原題 如圖1，設是的bc邊外的旁切圓，d e f分別是與bc ca和ab的切點，若od與ef交於k，求證 ak平分bc.貴州教育學院李小雪先生應用射影幾何的觀點研究了此題，給出了純幾何證法的證明.湖南師範大學數學系沈文選教授在他的近作 平面...
高中數學圓錐曲線總結版
解圓錐曲線問題常用方法 橢圓與雙曲線的經典結論 橢圓與雙曲線的對偶性質總結 解圓錐曲線問題常用以下方法 1 定義法 1 橢圓有兩種定義。第一定義中，r1 r2 2a。第二定義中，r1 ed1 r2 ed2。2 雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1 r2時，注意r2的最小值為c a 第二定義中，r1 ...
高中數學圓錐曲線小結論
橢圓1.點p處的切線pt平分 pf1f2在點p處的外角.2.pt平分 pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切...