課程領域：數學
課程名稱：奇妙的幾何變換
課程開發學校：北京二中分校
課程開發人：金江洙
課程簡介：
新課程標準調整了課程目標和具體教學內容：「本學段中，學生將探索基本圖形（直線形、圓）的基本性質及其相互關係，進一步豐富對空間圖形的認識和感受，學習平移、旋轉、對稱的基本性質，欣賞並體驗變換在現實生活中的廣泛應用，學習運用座標系確定物體位置的方法，發展空間觀念」。
雖然教學大綱注意到歸納、模擬等合情推理能力的發展，但由於在具體內容的學習中沒有做出明確的要求，因此，教科書的編制和教學實施中，教師更多地關注結論及其證明過程（特別是形式化的表述），即更多關注的是「是什麼」和「為什麼」兩個方面的問題；而較少關注「怎麼想到研究該問題」、「如何獲取這個結論」這兩個問題，忽視學生具體知識結論的**過程。
本讀本力求在學生探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理的思考與表達；在積累了一定的活動經驗與圖形性質的基礎上，體會證明的必要性，初步感受公理化思想，同時發展空間想象能力，從而實現北京二中分校「在體驗中獲得，從獲得中成長」的辦學理念。
課程教學目標：
知識與能力：通過探索發現平移、軸對稱、旋轉等圖形變換的基本特徵；學會綜合運用平移、軸對稱、旋轉進行圖形的變換和幾何的論證。
過程與方法：在豐富的現實情境中，經歷觀察、操作、欣賞、分析、想象、創作等數學活動過程，進一步發展學生的空間想象能力和合情推理能力。
情感態度與價值觀：通過欣賞圖形變換所創造出的美，進一步感受平移、軸對稱、旋轉在現實生活中的廣泛應用，體會數學的文化價值，感受數學的美。
在平面內，將乙個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。
理解這個概念應注意如下幾點：
1．平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種。指平面圖形在同一平面內的變換。
2．圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離。這兩個要素是圖形平移的依據。
範例1 （2006黑龍江中考題）下列圖形中只能用其中一部分平移可以得到的是 （ ）
abcd
【解析】根據平移的概念知，將乙個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。故圖形a、b、c、d中用其中一部分平移可以得到的只能是b。
平移的性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。
理解平移的基本性質時應注意如下幾點：
1．這個基本性質刻畫了圖形在平移運動中的不變性，表達了「不改變圖形的形狀和大小」的全部含義。
2．要注意正確找出「對應線段、對應角」，從而正確表達基本性質的特徵。
3．「對應點所連的線段平行且相等」，這個基本性質既可作平移圖形之間的性質，又可作平移作圖的依據。
範例2（1）如圖所示，線段ae，bf，cg，dh有怎樣的位置關係？
（2）圖中每對對應線段之間有怎樣的位置關係？
（3）圖中有哪些相等的線段、相等的角？
【解析】圖中四邊形efgh由四邊形abcd平移而得到，根據平移的性質：對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。從而易知（1）中的線段平行且相等；（2）注意兩個算對應四邊形中的相等關係；（3）中相等的相等容易看出，而對應的角較多，注意不要遺漏。
（1）圖中四條線段ae、bf、cg、dh互相平行；
（2）圖中所有的對應線段平行且相等；
（3）圖中對應角相等。
所謂平移作圖，就是作出乙個圖形沿著一定的方向和距離平移後的圖形。
平移作圖的基本步驟：
1．選擇圖形中的關鍵點；
2．按一定的方向和距離分別平移這些點；
3．分別依此鏈結這些點即可得到平移後的圖形。
根據平移的方向、距離，歸納出平移的基本圖形如下：
範例3 （1）如圖1所示，△abe沿射線xy的方向平移一定距離後成為△cdf。找出圖中存在的平行且相等的三條線段和一組重合的三角形。
（2）圖2中的四個小三角形都是等邊三角形，邊長為2cm，能通過平移△abc得到其它三角形嗎？若能，請畫出平移的方向，並說出平移的距離。
圖1圖2
【解析】（1）根據圖形平移的特徵，圖形平行且相等的線段有四組，線段ac、bd、ef；能夠重合的三角形是△abe與△cdf。
（2）能通過平移△abc得到的三角形有△aef、△cde，注意中間的三角形不能通過平移△abc得到。平移的距離均為2cm。
在解決生活中的有關問題時，若能巧妙運用平移性質，則能使問題巧妙求解。
範例4 如圖3，工廠a和宿舍b被一條河隔開，現要在河上架設一座橋mn，問橋架在何處時，才能使從a到b的路線最短?(假設河兩岸、平行，橋mn 與河岸垂直，a到的距離大於河寬。)
【解析】由於河兩岸平行，故橋長mn是乙個定值，無論橋架在何處，mn是必經路線，要使從a到b的折線最短，只需am+bn最短即可。為此我們不妨將橋mn平移到處，且m與a重合，則n與重合，由平移性質知am=。由「兩點之間，線段最短」的性質知，要使am+bn最短(即+bn最短)，只要點n**段上即可(如圖4)。
為此可得下面作法：
(1)過點a作ac⊥於點c；
(2)**段ac上擷取=橋長；
(3)連線交於點n；
(4)過點n作mn⊥於點m。
則mn即為所求的架設橋的地點。
類題1（2023年四川）在5×5方格紙中將圖（1）中的圖形n平移後的位置如圖（2）中所示，那麼正確的平移方法是（ ）
(a)先向下移動1格，再向左移動1格
(b)先向下移動1格，再向左移動2格
(c)先向下移動2格，再向左移動1格
(d)先向下移動2格，再向左移動2格
【解析】將（1）中的圖形n平移後得到圖（2）m，注意每平移一次，必須有平移的方向（向左或向右）、平移的距離（向上或向下），二者缺一不可。本題正確的平移方法是：先向下移動2格，再向左移動1格或先向左移動1格，再向下移動2格，故選擇c。
【點評】此例中主要考查平移的概念和方法，對圖形ｎ無論將其先向下移或是先向左移都可以實現圖2中的位置，需要你認真分析平移時的正確單位。
類題2 如圖所示，在平行四邊形abcd中，ae⊥bc，垂足為e，試畫出將△abe移後的圖形，其平移方向為射線ad的方向，平移的距離為線段ad的長。
【解析】乙個圖形平移的方向和距離確定了，它平移的位置也就確定了，根據平移的特徵，平移後，對應線段平行且相等，對應角也相等，所以可過d點作bc的垂線段df。
解：如圖△abe平移後的圖形為長方形aefd，其中ab平移到dc的位置，ae平移到df的位置，∠f=90°。
【點評】平移的主要用途：平移常與平行線有關，平移可將乙個角、一條線段、乙個圖形平移到另乙個位置，使分散的條件集中到乙個圖形上，使問題獲得解決。
類題3 如圖所示，先將方格紙中的圖形向右平移4格，然後向下平移3格。
【解析】必須清楚平移的方向是向右、再向下，平移的距離分別是4格和3格，平移的位置就確定了。在平移時，應從圖中選取幾個特殊點，根據平移的方向和距離都作相應的平移，這樣平移後的圖形就確定了。平移後的圖形如上右圖。
【點評】此梅花瓣形的圖形在平移時，最好選取五個特殊點，根據平移的方向和距離，確定平移後圖形的位置，這樣平移後的圖形就不會畫錯。
類題4 如圖是一塊電腦主機板的示意圖，每一轉角處都是直角，資料如圖所示，則該主機板的周長是____。
【解析】解決本題通常的思路是求出主機板邊緣每一條線段的長，再相加求和，但題中只知道三條線段的長，故此法行不通。由於每一轉角處都是直角，所以可想到運用平移性質，將cd平移至bd1處，bc平移至d1d處，fg平移至eh處，ji平移至kk1處，jk平移至ik1處，則電腦主機板的周長即為長方形ad1k1l的周長+ef+gh。而al=24mm，lk1=16+4=20(mm)，ef=gh=4mm，故主機板的周長=2(al+lk1+ef)=2(24+20+4)=96mm。
由乙個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換。
特別地，在平面直角座標系中，點(x,y)關於x軸的對稱點的座標為(x,-y)；關於y軸的對稱點的座標為(-x,y)。
範例1 （08遵義）如圖所示，如果與關於軸對稱，那麼點的對應點的座標為 。
【解析】本題主要考查點的座標和軸對稱的性質。關於x軸對稱的兩個點的橫座標相等，縱座標互為相反數。關於y軸對稱的兩點的橫座標互為相反數，縱座標相等。
觀察影象可知點a的座標為（1，3），因為點和點關於軸對稱，所以點的座標為（-1，3），故應填（-1，3）。
（一）以角平分線為對稱軸來解題
範例2 如圖1，在rt△abc中，∠c＝90°，ab＝2ac，ad為∠bac的平分線。求證：d**段ab的垂直平分線上。
【解析】因為ad平分∠bac，所以以ad為對稱軸，對△adc作軸對稱變換，則點c的對稱點e必落在ba上，再利用全等關係求解。
解：如圖，以ad為對稱軸作出△acd的軸對稱圖形△aed，由軸對稱圖形的性質可知△acd≌△aed，得ae=ac，∠aed＝∠c＝90°。∵ ab＝2ac，∴ ab＝2ae，∴ be＝ae，∴ de是線段ab的垂直平分線。
（二）以垂線、中垂線或高線為對稱軸來解題
範例3 如圖2，在△abc中，∠b＝2∠c，ad⊥bc於d。求證：cd＝ab＋bd。
【解析】以ad為對稱軸作出△abd的對稱△aed，則△abd≌△aed，ae＝ab，∠b＝∠aed。
圖2證明：以ad為軸，作△abd的對稱△aed，則ab＝ae，∠b＝∠aeb，ed＝db。∵ ∠b＝2∠c，而∠aeb＝∠c＋∠eac（三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角和）∴ ∠c＝∠eac， ∴ae＝ce（等角對等邊）。
∵ cd＝de＋ce，∴ cd＝bd＋ab。
用軸對稱設計圖案主要考查同學們設計圖形的能力、空間想象能力和實踐能力，主要考查畫軸對稱圖形的方法與技巧。這類題內容開放，需要同學們進行多方面、多角度、多層次的探索，能檢驗同學們思維的靈活性、發散性和創新性。
初中幾何變換 平移
初中數學幾何變換之 平移一 知識梳理 1 平移基本要素 平移方向平移距離。2 基本性質 1 對應點所連的線段平行且相等 2 對應線段平行且相等 3 對應角相等 3 應用 平行四邊形存在性等 二 常考題型 型別一 平移性質 1 如圖，矩形oabc的兩條邊在座標軸上，oa 1，oc 2，現將此矩形向右平...
函式與幾何變換
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