第二章一元二次方程
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：在前幾冊學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，並積累了解一元一次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學生學習了分解因式，掌握了提公因式法及運用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾節課中又學習了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了這兩種方法的解題思路及步驟。
學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了用配方法和公式法求一元二次方程的解的過程，並在現實情景中加以應用，切實提高了應用意識和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數學學習中，學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。
二、教學目標
知識與技能目標
1、能根據具體一元二次方程的特徵，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；
2、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數字係數的一元二次方程；
3、通過分解因式法的學習，培養學生分析問題、解決問題的能力，並體會轉化的思想。
過程與方法目標
1、通過學生**一元二次方程的解法，使學生知道分解因式法是解一元二次方程的一種簡便、特殊的方法，通過「降次」把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程；
2、通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方
法，並初步學會不同方法之間的差異，學會在與他人的交流中獲益。
情感與態度目標
1、經歷觀察，歸納分解因式法解一元二次方程的過程，激發好奇心；
2、進一步豐富數學學習的成功體驗，使學生在學習中培養良好的情感、態度和主動參與、合作交流的意識，進一步提高觀察、分析、概括等能力。
三、教學過程分析
本節課設計了七個教學環節：第一環節：複習回顧；第二環節：
情境引入，**新知；第三環節：例題解析；第四環節：鞏固練習；第五環節：
拓展延伸；第六環節：感悟與收穫；第七環節：布置作業。
第一環節：複習回顧
內容：1、用配方法解一元二次方程的關鍵是將方程轉化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程應先將方程化為一般形式。
3、選擇合適的方法解下列方程：
x2-6x=7 3x2+8x-3=0
目的：以問題串的形式引導學生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利於學生銜接前後知識，形成清晰的知識脈絡，為學生後面的學習作好鋪墊。
實際效果：第一問題學生先動筆寫在練習本上，有個別同學少了條件「n≥0」。
第二問題由於較簡單，學生很快回答出來。
第三問題由學生獨立完成，通過練習學生複習了配方法及公式法，並能靈活應用，提高了學生自信心。
第二環節：情景引入、**新知
內容：1、師：有一道題難住了我，想請同學們幫助一下，行不行？
生：齊答行。
師：出示問題，乙個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數是幾？你是怎樣求出來的？
說明：學生獨自完成，教師巡視指導，選擇不同答案準備展示。
附：學生a：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2=3x
∴x2-3x=0
∵a=1,b= -3,c=0
∴ b2-4ac=9
∴ x1=0, x2=3
∴ 這個數是0或3。
學生b：:設這個數為x，根據題意，可列方程
x2=3x
∴ x2-3x=0
x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2
(x-3/2) 2=9/4
∴ x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2
∴ x1=3, x2=0
∴這個數是0或3。
學生c：:設這個數為x，根據題意，可列方程
x2=3x
∴ x2-3x=0
即x(x-3)=0
∴ x=0或x-3=0
∴ x1=0, x2=3
∴ 這個數是0或3。
學生d：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2=3x
兩邊同時約去x,得
∴ x=3
∴ 這個數是3。
2、師：同學們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學的做法是否存在問題?你認為那種方法更合適?為什麼?
說明：小組內交流,中心發言人回答,及時讓學生補充不同的思路，關注每乙個學生的參與情況。
超越小組：我們認為d小組的做法不正確,因為要兩邊同時約去x,必須確保x不等於0,但題目中沒有說明。雖然我們組沒有人用c同學的做法,但我們一致認為c同學的做法最好,這樣做簡單又準確.
學生e：補充一點，剛才講x須確保不等於0，而此題恰好x=0,所以不能約去，否則丟根.
師：這兩位同學的回答條理清楚並且敘述嚴密，相信下面同學的回答會乙個比乙個棒!(及**價鼓勵，激發學生的學習熱情)
3、師：現在請c同學為大家說說他的想法好不好?
生：齊答好
學生c：x(x-3)=0 所以x1=0或x2=3 因為我想3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0反過來，如果ab=0,那麼a=0或b=0,所以a與b至少有乙個等於0
4、師：好，這時我們可這樣表示：
如果a×b=0,那麼a=0或b=0 這就是說：當乙個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是「或」，而不用「且」。
所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應寫上「或」字。
我們再來看c同學解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變為0，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然後利用a×b=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即
當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易於分解成兩個一次因式的乘積時，我門就採用分解因式法來解一元二次方程。
目的：通過獨立思考,小組協作交流,力求使學生根據方程的具體特徵,靈活選取適當的解法.在操作活動過程中,培養學生積極的情感,態度，提高學生自主學習和思考的能力,讓學生盡可能自己探索新知,教師要關注每一位學生的發展.
問題3和4進一步點明了分解因式的理論根據及實質,教師總結了本節課的重點.
實際效果：對於問題1學生能根據自己的理解選擇一定的方法解決，速度比較快。第2問讓學生合作解決，學生在交流中產生了不同的看法，經過討論**進一步了解了分解因式法解一元二次方程是一種更特殊、簡單的方法。
c同學對於第3問的回答從特殊到一般講解透徹，學生語言學生更容易理解。問題4的解決很自然地**了新知——分解因式法.並且也點明了運用分解因式法解一元二次方程的關鍵：
將方程左邊化為因式乘積,右邊化為0，這為後面的解題做了鋪墊。
說明：如果ab=0，那麼a=0或b=0，「或」是「二者中至少有乙個成立」的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有乙個成立。「且」是「二者同時成立」的意思。
第三環節例題解析
內容：解下列方程 (1)、 5x2=4x (仿照引例學生自行解決)
(2)、 x-2=x(x-2) (師生共同解決)
(3)、 (x+1)2-25=0 (師生共同解決)
學生g：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然後再分解因式求解。
解：（1）原方程可變形為
5x2-4x=0
x(5x-4)=0
∴ x=0或5x-4=0
∴ x1=0, x2=4/5
學生h：解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有(x-2),所以我把(x-2)看作整體，然後移項，再分解因式求解。
解：(2)原方程可變形為
x-2）-x(x-2)=0
∴ (x-2)(1-x)=0
∴ x-2=0或1-x=0
∴ x1=2 ， x2=1
學生k：老師，解方程（2）時能否將原方程展開後再求解
師：能呀，只不過這樣的話會複雜一些，不如把(x-2)當作整體簡便。
學生m：方程(x+1) 2- 25=0的右邊是0，左邊(x+1) 2-25可以把(x+1)看做整體，這樣左邊就是乙個平方差，利用平方差公式即可分解因式。
解：(3)原方程可變形為
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0
x+6)(x-4)=0
x+6=0或x-4=0
∴ x1=-6 ， x2=4
師：好﹗這個題實際上我們在前幾節課時解過，當時我們用的是開平方法，現在用的是因式分解法。由此可知：乙個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。
問題：1、用這種方法解一元二次方程的思路是什麼?步驟是什麼? (小組合作交流)
2、對於以上三道題你是否還有其他方法來解? (課下交流完成)
目的：例題講解中,第一題學生獨自完成,考察了學生對引例的掌握情況,便於及時反饋。第2、3題體現了師生互動共同合作，進一步規範解題步驟,最後提出兩個問題。
問題1進一步鞏固分解因式法定義及解題步驟，而問題2體現了解題的多樣化。
實際效果：對於例題中(1)學生做得很迅速,正確率比較高；(2)、(3)題經過**合作最終順利的完成,所以學生情緒高漲,討論熱烈,思維活躍,正是因為這，問題1、2學生們有見地的結論不斷湧現，敘述越來越嚴謹。
說明：在課本的基礎上例題又補充了一題,目的是練習使用公式法分解因式。
第四環節：鞏固練習
內容：1、解下列方程：（1） (x+2)(x-4)=0
(2 ) x2-4=0
(3 ) 4x(2x+1)=3(2x+1)
2、乙個數平方的兩倍等於這個數的7倍，求這個數？
目的：華羅庚說過「學數學而不練,猶如入寶山而空返」該練習對本節知識進行鞏固，使學生更好地理解所學知識並靈活運用。
實際效果：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習，通過練習基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了較好的效果。
第五環節拓展與延伸
分解因式法
分解因式法 教學設計方案 課題名稱 分解因式法 科目數學年級九年級 教學時間 1課時 45分鐘 學習者分析學生在本章先後學習了利用配方法 公式法解一元二次方程，通過適量訓練後，已經比較熟練地掌握了這兩種解方程的方法 學生在八年級下冊學習了分解因式的知識，基本掌握了利用 提公因式法 公式法 進行因式分...
分解因式法最終
因式分解法 一 教學目標 1 學會運用因式分解法解一元二次方程 2 能針對方程的特點運用適當的方法解方程 二 教學過程 1 溫故 1 如果，那麼a 或b 2 因式分解 因式分解的方法有 用公式法解方程 12 有別的方法嗎？2 知新 例解下列方程 12 因式分解法 1 當一元二次方程的一邊為0，而另一...
教學設計因式分解
教學設計 因式分解 李寨中學樊利軍 教學目標 1 認知目標 1 理解因式分解的概念和意義 2 認識因式分解與整式乘法的相互關係 相反變形，並會運用它們之間的相互關係尋求因式分解的方法。2 能力目標 由學生自行探求解題途徑，培養學生觀察 分析 判斷能力和創新能力，發展學生智慧型，深化學生逆向思維能力和...