平行線的性質
一、基礎過關：
1．下列語句中不是命題的有（ ）
（1）兩點之間，直線最短；（2）不許大聲講話；
（3）連線a、b兩點；（4）花兒在春天開放．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
2．下列命題中，正確的是（ ）
a．在同一平面內，垂直於同一條直線的兩條直線平行；
b．相等的角是對頂角；
c．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
d．和為180°的兩個角叫做鄰補角。3．如圖1，ab∥cd，ad，bc相交於o，∠bad=35°，∠bod=76°，則∠c的度數是 （ ）
a．31° b．35° c．41° d．76°
12）4．如圖2，ab∥cd，ad∥bc，則下列各式中正確的是（ ）
a．∠1+∠2>∠3 b．∠1+∠2=∠3
c．∠1+∠2<∠3 d．∠1+∠2與∠3無關
5．請將下列命題改寫成「如果……那麼……」的形式：
（1）等角的餘角相等；（2）垂直於同一條直線的兩直線平行；
（3）平行線的同旁內角的平分線互相垂直．
6．下列命題的題設是什麼？結論是什麼？
（1）對頂角相等；（2）兩條直線相交，只有乙個交點；（3）如果a2=b2，那麼a=b．
二、綜合創新：
7．（綜合題）如圖，直線ad與ab、cd相交於a、d兩點，ec、bf與ab、cd相交於e、c、b、f，如果∠1=∠2，∠b=∠c．求證：∠a=∠d．
8．（應用題）如圖，欲將一塊四方形的耕地中間的一條折路mpn改直，但不能影響道路兩邊的耕地面積，應如何畫線？
9．（創新題）如圖，若直線ab∥ed，你能推得∠b、∠c、∠d之間的數量關係嗎？請說明理由．
10．（1）如圖，已知ab∥cd，ce、ae分別平分∠acd、∠cab，則∠1+∠2______90°．（填「>」、「<」或「＝」）
34）（2）如圖4，直線l1∥l2，l3⊥l4，有三個命題：
①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4．下列說法中，正確的是 （ ）
a．只有①正確 b．只有②正確； c．①和③正確 d．①②③都正確
三、名校培優：
11．（**題）如圖，已知ab∥cd，∠1=∠2，試探索∠bef與∠efc之間的關係，並說明理由．
12．（開放題）如果乙個角的兩邊分別平行於另乙個角的兩邊，那麼這兩個角之間有怎樣的數量關係？請說明你的理由．
抽屜原理
5個蘋果放到4個抽屜裡，必有乙個抽屜裡至少有兩個蘋果．
一般地，n+1個蘋果放到n（n≥1）個抽屜裡，必有乙個抽屜裡至少有兩個蘋果，這稱為抽屜原理．
抽屜原理的應用很多．例如：在13個同學中，必有兩個同學在同乙個月過生日；10個客人住9個房間，必有兩個客人住在同乙個房間裡．
想一想：在同乙個圓內至少畫幾條半徑，就必有兩條半徑的夾角小於60°？
參***
1．b 點撥：（2）、（3）不是命題．
2．a 3．c
4．b 點撥：∵ad∥bc，∴∠1=∠acb．
∵ab∥cd，∴∠3=∠acb+∠2=∠1+∠2．故選b．
5．解：（1）如果兩個角相等，那麼它們的餘角相等．
（2）如果兩條直線垂直於同一條直線，那麼它們互相平行．
（3）如果兩條射線分別是平行線的同旁內角的平分線，那麼這兩條射線互相垂直．
6．解：（1）題設：兩個角是對頂角，結論：這兩個角相等．
（2）題設：兩條直線相交，結論：這兩條直線只有乙個交點．
（3）題設：a2=b2，結論：a=b．
7．證明：∵∠1=∠2，∠2=∠bga（對頂角相等），
∴∠1=∠bga．
∴ce∥bf．
∴∠b+∠bec=180°．
又∵∠b=∠c，∴∠c+∠bec=180°．
∴ab∥cd（同旁內角互補，兩直線平行）
∴∠a=∠d（兩直線平行，內錯角相等）．
8．連線mn．過p作ef∥mn交ad於e，bc於f．連線mf或ne，則mf或ne為新修的路．
9．解：∠c+∠d-∠b=180°．
理由：如答圖，過點c作cf∥ab，則∠b=∠2．
∵ab∥ed，cf∥ab，
∴ed∥cf（平行於同一條直線的兩直線平行）．
∴∠1+∠d=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．
而∠1=∠bcd-∠2=∠bcd-∠b，
∴∠bcd-∠b+∠d=180°，即∠bcd+∠d-∠b=180°．
點撥：平行線cf是聯絡ab、de的橋梁．想一想，本題還有其他做法嗎？
10．（1）=； （2）a。
11．解：∠bef=∠efc．
理由：如答圖，分別延長be、dc相交於點g．
∵ab∥cd，
∴∠1=∠g（兩直線平行，內錯角相等）．
∵∠1=∠2，∴∠2=∠g，∴be∥fc．
∴∠bef=∠efc（兩直線平行，內錯角相等）．
12．解：這兩個角相等或互補．
理由：如答圖5-3-6，∠1與∠2、∠1與∠3的兩邊分別平行．
∵l1∥l2，l3∥l4，
∴∠1=∠4（兩直線平行，內錯角相等）．
∠4=∠2．
∴∠1=∠2．
又∠2+∠3=180°．
∴∠1+∠3=180°．
從而∠1=∠2，∠1+∠3=180°．
點撥：分情況討論是中考的常考內容，解答本題易因考慮不全面而出現錯誤．
數學世界（答案）
至少畫7條半徑．
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