數學（理工農醫類）
本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
祝考試順利
注意事項：
1. 答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填在試題卷和答題卡上，並將准考證號條形碼貼上在答題卡上指定位置。
2. 選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號，答在試題卷上無效。
3. 填空題和解答題用0.5公釐黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。
4. 考試結束，請將本試題卷和答題卡一併上交。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的。
1、已知是兩個向量集合，則
a．｛〔1，1〕｝ b. ｛〔-1，1〕｝ c. ｛〔1，0〕｝ d. ｛〔0，1〕｝
2.設a為非零實數，函式的反函式是
a、 b、
c、 d、
3、投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n,則複數（m+ni）(n-mi)為實數的概率為
ab、cd、
4.函式的圖象按向量平移到,的函式解析式為當為奇函式時，向量可以等於
5.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到乙個班，則不同分法的種數為
6.設，
則7.已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有乙個交點的充要條件是
a. bc
d. 8.在「家電下鄉」活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮，現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用。
每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺。若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為
a.2000元b.2200元c.2400元d.2800元
9.設球的半徑為時間t的函式。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑
a.成正比，比例係數為cb. 成正比，比例係數為2c
c.成反比，比例係數為cd. 成反比，比例係數為2c
10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是
a.289b.1024 c.1225 d.1378
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上,一題兩空的題,其答案按先後次序填寫.
11.已知關於的不等式＜0的解集是.則
12.樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據樣本的頻率分布直方圖估計,樣本資料落在內的頻數為 ，資料落在內的概率約為
13.如圖,衛星和地面之間的電視訊號沿直線傳播,電視訊號能夠傳送到達的地面區域,稱為這個衛星的覆蓋區域.為了轉播2023年北京奧運會,我國發**「中星九號」廣播電視直播衛星，它離地球表面的距離約為36000km.
已知地球半徑約為6400km,則「中星九號」覆蓋區域內的任意兩點的球面距離的最大值約為 km.(結果中保留反余弦的符號).
14.已知函式則的值為 .
15．已知數列滿足：（m為正整數），若，則m所有可能的取值為
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）
乙個盒子裡裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數2，3，4，5；另乙個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數3，4，5，6。現從乙個盒子中任取一張卡片，其上面的數記為x；再從另一盒子裡任取一張卡片，其上面的數記為y，記隨機變數，求的分布列和數學期望。
17．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知向量
（ⅰ）求向量的長度的最大值；
（ⅱ）設，且，求的值。
18．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，四稜錐s—abcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，點e是sd上的點，且
（ⅰ）求證：對任意的，都有
（ⅱ）設二面角c—ae—d的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若，求的值
19、（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知數列的前n項和（n為正整數）。
（ⅰ）令，求證數列是等差數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）令試比較與的大小，並予以證明。
20、（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）
過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交於m、n兩點，自m、n向直線作垂線，垂足分別為、。
（ⅰ）當時，求證：⊥；
（ⅱ）記、、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
21.(本小題滿分14分) （注意：在試題卷上作答無效）
在r上定義運算（b、c為實常數）。記，，.令.
如果函式在處有極什,試確定b、的值；
求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
記的最大值為.若對任意的b、c恆成立，試示的最大值。
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