1．設橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，左頂點m到直線＋＝1的距離d＝，o為座標原點．
(1)求橢圓c的方程；
(2)設直線l與橢圓c相交於a，b兩點，若以ab為直徑的圓經過座標原點，證明：點o到直線ab的距離為定值．
(1)解由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，
所以b＝a，即a＝2b.
由左頂點m(－a,0)到直線＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0的距離d＝，
得＝，即＝，
把a＝2b代入上式，得＝，解得b＝1.
所以a＝2b＝2，c＝.
所以橢圓c的方程為＋y2＝1.
(2)證明設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
①當直線ab的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性，可知x1＝x2，y1＝－y2.
因為以ab為直徑的圓經過座標原點，故·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，也就是x－y＝0，
又點a在橢圓c上，所以＋y＝1，
解得|x1|＝|y1|＝.
此時點o到直線ab的距離d1＝|x1|＝.
②當直線ab的斜率存在時，
設直線ab的方程為y＝kx＋m，
與橢圓方程聯立有
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
因為以ab為直徑的圓過座標原點o，所以oa⊥ob.
所以·＝x1x2＋y1y2＝0.
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
所以(1＋k2)·－＋m2＝0.
整理得5m2＝4(k2＋1)，
所以點o到直線ab的距離d1＝＝.
綜上所述，點o到直線ab的距離為定值.
2．若直線l：y＝－過雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的乙個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點b(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交於不同的兩點m，n，mn的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值範圍．
解 (1)由題意，可得c＝2，＝，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得a＝，b＝1.
故雙曲線的方程為－y2＝1.
(2)由(1)知b(0,1)，依題意可設過點b的直線方程為y＝kx＋1 (k≠0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)．
由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，
所以x1＋x2＝，
δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>00設mn的中點為q(x0，y0)，
則x0＝＝，y0＝kx0＋1＝，
故直線m的方程為y－＝－，
即y＝－x＋.
所以直線m在y軸上的截距為，
由0得1－3k2∈(－1,0)∪(0,1)，
所以∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
故直線m在y軸上的截距的取值範圍為(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
3．已知平面上的動點r(x，y)及兩定點a(－2,0)，b(2,0)，直線ra，rb的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝－，設動點r的軌跡為曲線c.
(1)求曲線c的方程；
(2)四邊形mnpq的四個頂點均在曲線c上，且mq∥np，mq⊥x軸，若直線mn和直線qp交於點s(4,0)．問：四邊形mnpq兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點座標；若不是，請說明理由．
解 (1)由題意知x≠±2，且k1＝，k2＝，
則·＝－，
整理得，曲線c的方程為＋＝1 (y≠0)．
(2)設mp與x軸交於d(t,0)，
則直線mp的方程為x＝my＋t (m≠0)，
記m(x1，y1)，p(x2，y2)，
由對稱性知q(x1，－y1)，n(x2，－y2)，
由消去x得：
(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
由根與係數的關係得：y1＋y2＝－，
y1·y2＝，由m，n，s三點共線知kms＝kns，即＝，所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，
所以＝0，
即24m(t－1)＝0，t＝1，所以直線mp過定點d(1,0)，同理可得直線nq也過定點d(1,0)，即四邊形mnpq兩條對角線的交點是定點，且定點座標為(1,0)．
4.已知拋物線c：x2＝2py (p>0)的焦點為f(0,1)，過點f作直線l交拋物線c於a，b兩點．橢圓e的中心在原點，焦點在x軸上，點f是它的乙個頂點，且其離心率e＝.
(1)分別求拋物線c和橢圓e的方程；
(2)經過a，b兩點分別作拋物線c的切線l1，l2，切線l1與l2相交於點m.證明：ab⊥mf；
(3)橢圓e上是否存在一點m′，經過點m′作拋物線c的兩條切線m′a′，m′b′(a′，b′為切點)，使得直線a′b′過點f？若存在，求出拋物線c與切線m′a′，m′b′所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．
(1)解由已知拋物線c：x2＝2py (p>0)的焦點為f(0,1)可得拋物線c的方程為x2＝4y，
設橢圓e的方程為＋＝1 (a>b>0)，半焦距為c.
由已知可得：
解得a＝2，b＝1.
所以橢圓e的方程為＋y2＝1.
(2)證明顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線c只有乙個交點，不合題意，故可設直線l的方程為y＝kx＋1，a(x1，y1)，b(x2，y2) (x1≠x2)，
由消去y並整理得x2－4kx－4＝0，
∴x1x2＝－4.
∵拋物線c的方程為y＝x2，求導得y′＝x，
∴過拋物線c上a、b兩點的切線方程分別是
y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，
即y＝x1x－x，y＝x2x－x，
解得兩條切線l1，l2的交點m的座標為
，即m，
·＝·(x2－x1，y2－y1)
＝ (x－x)－2＝0，
∴ab⊥mf.
(3)解假設存在點m′滿足題意，由(2)知點m′必在直線y＝－1上，又直線y＝－1與橢圓e有唯一交點，故m′的座標為m′(0，－1)，設過點m′且與拋物線c相切的切線方程為y－y0＝x0(x－x0)，其中點(x0，y0)為切點．
令x＝0，y＝－1，得－1－x＝x0(0－x0)，
解得x0＝2或x0＝－2，
故不妨取a′(－2,1)，b′(2,1)，即直線a′b′過點f.
綜上所述，橢圓e上存在一點m′(0，－1)，經過點m′作拋物線c的兩條切線m′a′、m′b′(a′、b′為切點)，能使直線a′b′過點f.
此時，兩切線的方程分別為y＝－x－1和y＝x－1.
拋物線c與切線m′a′、m′b′所圍成圖形的面積為
s＝2 [x2－(x－1)]dx
＝2|＝.
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