a卷(限時40分鐘)
1．(2014·天津高考)某大學志願者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其餘7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
(2)設x為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變數x的分布列和數學期望．
2．(2014·江南十校模擬)某校高二(4)班組織學生報名參加國學社和攝影社，已知報名的每位學生至少報了乙個社團，其中報名參加國學社的學生有2人，參加攝影社的學生有5人，現從中選2人．設x為選出的學生中既報名參加國學社又報名參加攝影社的人數，且p(x＞0)＝.
(1)求高二(4)班報名參加社團的學生人數；
(2)寫出x的分布列並計算e(x)．
3．「蛟龍號」從海底帶回了某種生物，甲、乙兩個生物小組分別獨立對該生物離開恆溫箱的成活情況進行研究，每次試驗乙個生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗後生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的．
(1)甲小組做了3次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；
(2)如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第4次成功前共有3次失敗，且恰有兩次連續失敗的概率；
(3)若甲、乙兩個小組各進行2次試驗，設試驗成功的總次數為x，求x的分布列和數學期望．
b卷(限時40分鐘)
1．某班從6名幹部中(其中男生4人，女生2人)選3人參加學校的義務勞動．
(1)設所選3人中女生人數為x，求x的分布列及e(x)；
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；
(3)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．
2．(2014·寧德質檢)某品牌電視專賣店，在「五一」期間設計一項有獎**活動：每購買一台電視，即可通過電腦產生一組3個數的隨機數組，根據下表兌獎.
商家為了了解計畫的可行性，估計獎金數，進行了隨機模擬試驗，產生20組隨機數組，每組3個數，試驗結果如下所示：
235,145,124,754,353,296,065,379,118,247,520,356,218,954,245,368,035,111,357,265.
(1)在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，至少有一組獲獎的概率；
(2)根據上述模擬試驗的結果，將頻率視為概率：
①若活動期間某單位購買4臺電視，求恰好有兩台獲獎的概率；
②若本次活動平均每台電視的獎金不超過260元，求m的最大值．
3．(2014·成都模擬)某學生社團在對本校學生學習方法開展問卷調查的過程中發現，在**上來的1 000份有效問卷中，同學們背英語單詞的時間安排共有兩種：白天背和晚上臨睡前背．為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響，該社團以5%的比例對這1 000名學生按時間安排型別進行分層抽樣，並完成一項試驗，試驗方法是，使兩組學生記憶40個無意義音節(如xiq、geh)，均要求在剛能全部記清時就停止識記，並在8小時後進行記憶測驗．不同的是，甲組同學識記結束後一直不睡覺，8小時後測試；乙組同學識記停止後立刻睡覺，8小時後叫醒測驗．兩組同學識記停止8小時後的準確回憶(保持)情況如圖(區間含左端點而不含右端點)．
(1)估計1 000名被調查的學生中識記停止8小時後40個音節的保持率大於或等於60%的人數；
(2)從乙組準確回憶個數在[12,24)範圍內的學生中隨機選3人，記能準確回憶20個以上(含20)的人數為隨機變數x，求x的分布列及數學期望；
(3)從本次試驗的結果來看，上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好？計算並說明理由．
答案a卷
1．解：(1)設「選出的3名同學是來自互不相同的學院」為事件a，
則p(a)＝＝.
所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為.
(2)隨機變數x的所有可能值為0,1,2,3.
p(x＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，隨機變數x的分布列是
隨機變數x的數學期望
e(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．解：設既報名參加國學社又報名參加攝影社的有x人，則該班報名總人數為7－x.
(1)∵p(x＞0)＝p(x≥1)＝1－p(x＝0)＝，∴p(x＝0)＝，即＝，
∴＝，解得x＝2.
故高二(4)班參加社團的學生有5人．
(2)p(x＝0)＝，
p(x＝1)＝＝，
p(x＝2)＝＝.
∴x的分布列為
∴e(x)＝0×＋1×＋2×＝.
3．解：(1)甲小組做了三次實驗，至少兩次試驗成功的概率為p1＝c2＋c3＝.
(2)乙小組在第4次成功前，共進行了6次試驗，其中3次成功3次失敗，且恰有兩次連續失敗，其中各種可能的情況種數為a 24＝12，因此所求的概率p2＝12×3×3×＝.
(3)由題意，知x的可能取值為0,1,2,3,4，
p(x＝0)＝2×2＝，
p(x＝1)＝c 12×××2＋c×××2＝，
p(x＝2)＝c22＋c×××c××＋2×c2＝，
p(x＝3)＝c 222×c××＋c×××c 2＝，
p(x＝4)＝c2×c2＝.
故x的分布列為
則e(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
b卷1．解：(1)x的所有可能取值為0,1,2，
依題意得，p(x＝0)＝＝，p(x＝1)＝＝，p(x＝2)＝＝，
∴x的分布列為：
e(x)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)設「甲、乙都不被選中」為事件c，則
p(c)＝＝＝，
∴所求概率為p()＝1－p(c)＝1－＝.
(3)記「男生甲被選中」為事件a，「女生乙被選中」為事件b，p(a)＝＝＝，
p(ba)＝＝，
p(b|a)＝＝.
2．解：(1)設a表示「在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，至少有一組獲獎」，則p(a)＝1－＝.
(2)①由題意得，每購買一台電視機獲獎的概率為p＝＝，
設b表示「購買4臺電視，恰好有兩台獲獎」，則
p(b)＝c2×2＝.
②設a1表示「購買一台電視獲一等獎」，
a2表示「購買一台電視獲二等獎」，
a3表示「購買一台電視獲三等獎」，
則p(a1)＝，p(a2)＝，p(a3)＝.
設x為獲得獎金數額，則x的可能取值為0，m,2m,5m.
故x的分布列為：
∴e(x)＝0＋＋＋＝.
由e(x)＝≤260得m≤400.
∴m的最大值為400.
3．解：(1)∵1 000×5%＝50，
由題中甲圖知，甲組有4＋10＋8＋4＋2＋1＋1＝30(人)，∴乙組有20人．
又∵40×60%＝24.
∴識記停止8小時後40個音節的保持率大於或等於60%的在甲組中有1人，
在乙組中有(0.062 5＋0.037 5)×4×20＝8(人)，∴(1＋8)÷5%＝180，
即估計1 000名被調查的學生中識記停止8小時後40個音節的保持率大於或等於60%的人數為180.
(2)由題中乙圖知，乙組在[12,24)之間有(0.025＋0.025＋0.075)×4×20＝10(人)，
在[20,24)之間有0.075×4×20＝6(人)．
x的可能取值為0,1,2,3.
∴p(x＝0)＝＝，
p(x＝1)＝＝，
p(x＝2)＝＝，
p(x＝3)＝＝.
∴x的分布列為
數學期望e(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)甲組學生準確回憶音節數共有2×4＋6×10＋10×8＋14×4＋18×2＋22×1＋26×1＝288個．
故甲組學生的平均保持率為×＝×9.6＝0.24.
乙組學生準確回憶音節數共有(6×0.012 5＋10×0.012 5＋14×0.
025＋18×0.025＋22×0.075＋26×0.
062 5＋30×0.037 5)×4×20＝432個．
故乙組學生的平均保持率為
×＝×21.6＝0.54＞0.24，
所以臨睡前背單詞記憶效果更好．(只要敘述合理都給分)
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