第6章微積分的創立
積分學可以追溯到古代，而微分學的起源則晚得多，刺激微分學發展的主要科學問題是求曲線的切線、瞬時變化率及求函式的極大極小值等問題。微積分醞釀階段最有代表性的工作有克卜勒發表的《測量酒桶的新立體幾何》論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉而成的立體體積的積分法。卡瓦列里不可分量原理系統發展了不可分量方法。
笛卡兒在《幾何學》中提出了求切線的所謂「圓法」本質上是一種代數方法。笛卡兒的代數方法在推動微積分的早期發展方面有很大影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。費馬提出了求極大值與極小值的代數方法，費馬的方法幾乎相當於現今微分學中所用的方法，只是符號不同。
巴羅也給出了求曲線切線的方法，他是使用幾何法，巴羅的幾何法的關鍵概念後來變得很有名，就是微分三角形，也叫特徵三角形。沃利斯的著作《無窮算術》本質上是分析的途徑發展積分法。沃利斯的工作直接引導牛頓發現了有理數冪的二項式定理。
由於受笛卡兒《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》的影響，使牛頓走上了創立微積分之路。牛頓的《流數簡論》是歷史上第一篇系統的微積分文獻。他將求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的演算法---正、反流數術也即微分與積分，並證明了二者的互逆關係而將這兩類運算進一步統一成整體。
牛頓努力改進和完善自己的微積分學說，先後寫成了三篇微積分**，其中《曲線求積術》是最成熟的微積分著作。牛頓微積分學說最早公開表述出現在他的力學名著《自然哲學的數學原理》，它也成為數學史上劃時代著作。《原理》被愛因斯坦稱讚為「無比輝煌的演繹成就」。
全書從三條基本的力學定律出發，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括克卜勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內的一系列結論，並且還將微積分應用於流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數學工具的威力。《原理》中的微積分命題雖然都採用了幾何形式來敘述、證明，但絕大多數命題是依靠使用了「新分析法」然後再「綜合地證明」。可以說牛頓發明微積分主要是依靠了高度的歸納演算法的能力，並沒有多少綜合幾何的背景。
萊布尼茨創立微積分是出於幾何問題的思考，尤其是特徵三角形的研究。萊布尼茨提出了自己的特徵三角形。他在《微積分的歷史和起源》中自述，他的這項發現是受帕斯卡**《關於四分之一圓的正弦》的啟發。
萊布尼茨對帕斯卡的方法進行了推廣，得出了一般性結論。即對任意給定的曲線都可以作這樣的無限小三角形，只要用給定曲線的法線來替代圓半徑，而借助於這樣的無限小三角形，可以迅速地、毫無困難地建立大量的定理。萊布尼茨在關於特徵三角形的研究中認識到：
求曲線的切線依賴於縱座標的差值與橫座標的差值當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積則依賴於無限小區間上的縱座標之和（縱座標之和在這裡是指縱座標乘以無限小區間的長度再相加，因而也相當於寬度為無限小的矩形面積之和）。
萊布尼茨借助笛卡爾解析幾何把曲線的縱座標用數值表示出來,並想象乙個由無窮個縱座標y組成的序列,以及對應的 x值序列,而x 被看作是確定縱座標序列的次序,同時考慮任意兩相繼的y值之差的序列.萊布尼茨由此發現「求切線不過是求差，求積不過是求和。」
萊布尼茨發表了他的第一篇微分學**《一種求極大與極小值和求切線的新方法》這是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。後來他又發表積分學**《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，正是在這篇**中積分號∫第一次出現在印刷出版物上，他引進的符號d和∫體現了微分與積分的「差」與「和」的實質，並沿用至今。因此對微積分的創立，牛頓和萊布尼茨儘管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當的，他們都是時代的巨人。
第7章分析時代
在數學史上，18世紀可以說是分析的時代，也是向現代數學過渡的重要時期。雅各布.伯努力和約翰.
伯努力是萊布尼茨的忠實學生和朋友，他們的工作，構成了現今所謂初等微積分的大部分內容。對微積分所作出的重大進步是尤拉。他出版的《無限小分析引論》、《微分學》和《積分學》是微積分史上里程碑式的著作。
18世紀微積分發展包括以下幾個主要方面：積分技術與橢圓積分，尤其是積分技術更明顯。約翰.
伯努力和尤拉在他們的論著中使用變數代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經成為今天微積分教科書中求函式積分的常用方法。微積分向多元函式的推廣，專門的偏導數符號是由雅可比在行列式理論中正式創立並逐漸普及。尤拉給出了計算二重積分的一般方法。
在無窮級數這一領域最權威的是雅各布.伯努力，他撰寫了5篇關於無窮級數的**。其中最有啟發性的工作是關於調和級數的和是無窮的證明。
函式概念的深化，微積分發展的乙個歷史性轉折，是將函式放到了中心的地位，以往都是以曲線作為微積分的主要物件，這一轉折應歸功於尤拉。微積分嚴格化的嘗試，牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴格的，特別在使用無限小概念上的隨意與混亂。尤拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴格表述提供了合理核心。
常微分方程是伴隨著微積分一起發展起來的。解一階常微分方程的積分因子法，分別由尤拉和克萊洛獨立提出。尤拉給出了n階方程的通解是其n個特解的線性組合，他是最早明確區分「通解」與「特解」的數學家。
拉格朗日用引數變易法解出了一般n階變係數非齊次常微分方程。偏微分方程是由於對弦振動等力學問題的應用引出的，位勢方程是一類重要的偏微分方程，現稱「拉普拉斯方程」 。拉普拉斯利用求調和函式解出了位勢方程，後由格林、高斯發展為數學物理的重要部分。
變分法起源於「最速降線」和其它一些類似的問題。所謂最速降線問題是要求出兩點之間一條曲線，使質點在重力作用下沿著它由一點至另一點降落最快（即所需時間最短）。
尤拉對變分法問題給出了一般的處理。他在2023年發表的《求某種具有極大或極小性質的曲線的技巧》中給出的二階常微分方程也稱「尤拉方程」,至今仍為變分法的基本方程。尤拉的工作奠定了變分法的這門新學科的獨立基礎。
而拉格朗日在純分析的基礎上建立了變分法。他在2023年發表的《論確定不定積分式的極大和極小值的乙個新方法》首創了函式y 的「變分」概念，並用記號表示。他還第一次成功處理了端點變動的極值曲線問題及重積分情形，後來又研究了被積函式中含有高階導數的變分問題，這些後來都成為變分法的標準內容。
拉格朗日的工作使由最速降線等特殊問題發展起來的變分法名符其實地成為分析的乙個獨立分支。
尤拉是微分幾何的重要奠基人，他關於曲面論的經典工作《關於曲面上曲線的研究》被公認為微分幾何史上的乙個里程碑。蒙日發展了微分幾何，他發表的《關於分析的幾何應用的活頁**》是第一部系統的微分幾何著述。他借這些偏微分方程對曲面族、可展曲面及直紋面進行研究而獲得了大量深刻的結果。
蒙日不僅將分析應用於幾何，同時又用幾何去解釋微分方程並推動了微分方程的發展，他開創了偏微分方程的特徵理論，引進了**偏微分方程的幾何工具----特徵曲線與特徵錐等，它們至今仍是現代偏微分方程論中的重要概念。
18世紀代數學的主題仍然是代數方程，高斯在他的博士**《每個單變數有理整函式均可分解為一次或二次實因式積的新證明》中公布了代數基本定理的第乙個實質性證明。代數基本定理斷言n次代數方程恰有n個根。後來他又給出了代數基本定理的另外三個不同的證明。
代數方程論發展的另乙個方向是高次方程根式可解性問題的**。其中拉格朗日的工作最為重要。拉格朗日最有啟發性的思想是研究根的對稱函式並考慮乙個有理函式當其變數發生置換時取值的個數，這蘊含了置換群的概念。
代數方程論發展的第三個方向是方程組理論。
近代意義的數論研究是從費馬開始的，費馬提出了一堆猜想，這些猜想使數學家們忙碌了好幾個世紀，有的至今仍為現代數論饒有興趣的課題。費馬發明了無限下降法,此方法成為18世紀一種證明數論問題的有用技巧，尤拉、拉格朗日、勒讓德等都普遍地使用這一方法。這一時期最著名的猜想是哥德**猜想和華林問題。
尤拉在數論研究方面所做的兩項重要工作：
尤拉匯出了恒等式
尤拉另一項工作是他發現了二次互反律，二次互反律成為數論研究的重要課題並引出了許多偉大的結果，開啟了數論的乙個新領域即代數數論。
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