1.已知函式（ⅰ）求此函式的單調區間及最值；（ⅱ）求證：對於任意正整數n，均有（為自然對數的底數）；（ⅲ）當a＝1時，是否存在過點（1，－1）的直線與函式的圖象相切？
若存在，有多少條？若不存在，說明理由．
2.已知函式．（1）求函式的單調區間；（2）若函式的圖象在點處的切線的傾斜角為，對於任意的，函式在區間上總不是單調函式，求的取值範圍；（3）求證：．
3. 已知函式.（1）當時，求在區間上的最大值和最小值；
（2）如果函式，，，在公共定義域d上，滿足，那麼就稱為，的「活動函式」. 已知函式，.
①若在區間上，函式是，的「活動函式」，求的取值範圍；
②當時，求證：在區間上，函式，的「活動函式」有無窮多個.
4. 如圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸於點，又過作軸的垂線交曲線於點，然後再過作曲線的切線交軸於點 ，又過作軸的垂線交曲線於點，，以此類推，過點的切線與軸相交於點，再過點作軸的垂線交曲線於點（n）． (1) 求、及數列的通項公式； (2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表示式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：
n.5. 設函式f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數b的值；
（2）若函式f(x)在定義域上是單調函式，求實數b的取值範圍；
（3）若b＝－1，證明對任意的正整數n，不等式都成立；
6.已知函式 （1）若且函式在區間上存在極值，求實數的取值範圍；（2）如果當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍；（3）求證
1.已知函式（ⅰ）求此函式的單調區間及最值；（ⅱ）求證：對於任意正整數n，均有（為自然對數的底數）；（ⅲ）當a＝1時，是否存在過點（1，－1）的直線與函式的圖象相切？
若存在，有多少條？若不存在，說明理由．
解：（ⅰ）解：由題意1分
當時，函式的定義域為，
此時函式在上是減函式，在上是增函式，
無最大值．………………3分
當時，函式的定義域為，
此時函式在上是減函式，在上是增函式，
無最大值．………………5分
(ⅱ)取，由⑴知，
故，取，則．………………9分
(ⅲ)假設存在這樣的切線，設其中乙個切點，
∴切線方程：，將點座標代入得：
，即設，則．………………12分
，在區間，上是增函式，在區間上是減函式，
故．又，
注意到在其定義域上的單調性，知僅在內有且僅有一根
方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．…………14分
2.已知函式．（1）求函式的單調區間；
（2）若函式的圖象在點處的切線的傾斜角為，對於任意的，函式在區間上總不是單調函式，求的取值範圍；
（3）求證：．
【解】：（1） ,
當時，的單調增區間為，減區間為；
當時，的單調增區間為，減區間為；
當時，不是單調函式.
（2）得， (1分)
∴，∴∵在區間上總不是單調函式，且∴
由題意知：對於任意的，恆成立，
所以，，∴ (3分)
（3）令此時，所以，
由（ⅰ）知在上單調遞增，
∴當時，即.
∴對一切成立. (2分)
【法一】：∵，則有，∴
【法二】：數學歸納法證明（從略） (4分)
3. 已知函式.（1）當時，求在區間上的最大值和最小值；
（2）如果函式，，，在公共定義域d上，滿足，那麼就稱為，的「活動函式」. 已知函式，.
①若在區間上，函式是，的「活動函式」，求的取值範圍；
②當時，求證：在區間上，函式，的「活動函式」有無窮多個.
解：（1）當時，，；
對於[1, e]，有，∴在區間[1, e]上為增函式，
（2）①在區間（1，+∞）上，函式是的「活動函式」，則
令<0，對(1，+∞)恆成立，
且h(x)=f1(x) – f(x)= <0對(1，+∞)恆成立， 5分
1）若，令，得極值點
當，即時，在（，+∞)上有，
此時在區間(，+∞)上是增函式，並且在該區間上有∈(，+∞)，不合題意；
當，即時，同理可知，在區間(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合題意
2） 若，則有，此時在區間(1，+∞)上恒有，
從而在區間(1，+∞)上是減函式
要使在此區間上恆成立，只須滿足，
所以a又因為h/(x)= –x+2a–= <0, h(x)在(1, +∞)上為減函式，
h(x)綜合可知的範圍是
另解：(接在(*)號後)
先考慮h(x),
h`(x) = – x + 2a =,
h(x)在(1,+ )遞減，只要h(1) 0, 得，解得8分
而p`(x)=對x (1,+ ) 且有p`(x) <0.
只要p(1) 0,，解得,
所以12分
②當時，
則y=f2(x) –f1(x)= x2 –lnx, x (1，+∞).
因為y /=>0，y=f2(x) –f1(x)在 (1，+∞)為增函式，
所以f2(x) –f1(x)> f2(1) –f1(1)= .
設r(x)=f1(x)+ (0<<1), 則 f1(x) 所以在區間（1，+∞）上，函式的「活動函式」有無窮多個.
其他如r(x)= f1(x)+ f2(x)( 0<,<1,且+=1)等也可以15分
4. 如圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸於點，又過作軸的垂線交曲線於點，然後再過作曲線的切線交軸於點 ，又過作軸的垂線交曲線於點，，以此類推，過點的切線與軸相交於點，再過點作軸的垂線交曲線於點（n）． (1) 求、及數列的通項公式； (2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表示式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：
n.(1) 解: 由，設直線的斜率為，則.
∴直線的方程為.令，得
∴， ∴. ∴.
∴直線的方程為.令，得
一般地，直線的方程為，
由於點在直線上，∴.
∴數列是首項為，公差為的等差數列
（2）解
（3）證明：.
要證明，只要證明，即只要證明
證法1：（數學歸納法）
1 當時，顯然成立；
2 假設時，成立，
則當時，，
而.∴.∴.
這說明，時，不等式也成立.
由①②知不等式對一切n都成立
證法2:
∴不等式對一切n都成立
證法3:令,則,
當時, ,∴函式在上單調遞增.
∴當時,.∵n,∴, 即.
∴.∴不等式對一切n都成立
5. 設函式f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數b的值；
（2）若函式f(x)在定義域上是單調函式，求實數b的取值範圍；
（3）若b＝－1，證明對任意的正整數n，不等式都成立；
解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定義域為( - 1，+ ∞),
對x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函式f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,
解得b= - 4.
經檢驗，列表（略），合題意；
（2）∵又函式f(x)在定義域上是單調函式，
∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恆成立。
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恆成立,
即b≥-2x2 -2x =恆成立,由此得b≥;
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恆成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上沒有最小值，∴不存在實數b使f(x) ≤0恆成立。
綜上所述，實數b的取值範圍是
（3）當b= - 1時，函式f(x) = x2 - ln(x+1)，令函式h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，
則h/(x) = - 3x2 +2x -，
∴當時，h/(x)＜0所以函式h(x)在上是單調遞減。
又h(0)=0，∴當時，恒有h(x) ＜h(0)=0,
即x2 – ln(x+1) ＜x3恆成立.故當時,有f(x) ＜x3..
∵取則有
∴,故結論成立
6.已知函式 （1）若且函式在區間上存在極值，求實數的取值範圍；（2）如果當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍；（3）求證
解（1）因為， x 0，則，
當時，；當時，.
所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，
所以函式在處取得極大值；（最好列表略）
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