§20.3 菱形的判定
教學目標
1、知識與技能
探索菱形判定定理；會利用判定定理進行有關的論證和計算。
2、過程與方法
培養學生的觀察能力，動手能力、自學能力、計算能力、邏輯思維能力。
3、情感、態度與價值觀
在教學中滲透事物總是相互聯絡又相互區別的辯證唯物主義觀點。
重點與難點
1、重點：菱形的判定定理的掌握和靈活運用。
2、難點：菱形的判定定理的靈活運用。
教學方法
本節課承襲了前兩節課的**方法，這種方法學生已經比較熟悉，所以本節課可以放手讓學生去**，以達到培養學生動手、動腦的習慣，注重學生概括、歸納問題的能力的培養，鼓勵學生發現問題、敢於質疑，使學生在探索爭鳴中學會合作學習，學會傾聽，學會表達，使學生在活動中學習，在學習中活動。
教具準備
教學用三角板與圓規。
第一課時兩條對角線互相垂直的平行四邊形
教學過程
一複習引入
教師講解：我們已經知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，這是菱形的定義，我們可以根據定義來判定乙個四邊形是菱形。要判定乙個四邊形是菱形可以從定義入手，一方面證明它是乙個平行四邊形；另一方面證明這個四邊形有一組鄰邊相等。
除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？我們借鑑上一節課的**方法，將菱形性質定理的條件與結論相交換，形成乙個逆命題，然後證明這個逆命題是真命題，從而得到乙個判定定理。
所以我們要先複習一下菱形的性質：菱形是乙個中心對稱圖形，也是乙個軸對稱圖形，它具有如下的性質：①兩條對角線互相垂直平分；②四條邊都相等；③每條對角線平分一組對角。
教師分析菱形的性質：「兩條對角線互相垂直平分」中，「對角線互相平分」是平行四邊形所具有的一般性質，而「對角線互相垂直」是菱形所特有的性質，由此我們可以得到的逆命題是：如果乙個平行四邊形的兩條對角線互相垂直，那麼這個平行四邊形是菱形。
只要我們能證明這個逆命題是真命題，它就成了乙個菱形的判定定理。
二、**新知
教師作如下演示並提問：如圖20.3.
1－1（a），取兩個長度不等的木棒，讓兩個木棒的中點重合併固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個端點的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是乙個平行四邊形，因為這個四邊形的對角線互相平分，若轉動其中乙個木棒，重複上面的做法，當兩個木棒之間的夾角等於90度時，得到的圖形是什麼圖形呢？這時這個圖形就如圖20.
3.1－1（b）所示，它是乙個兩條對角線互相垂直的平行四邊形。
教師要求學生按圖20.3.1－1（b）所示用尺規畫乙個滿足上述條件的平行四邊形，再量一下它們的鄰邊是否相等。
作圖過程如下：作一條直線m，在m上取一點o，過點o作m的垂線p⊥m；在m上擷取線段oa與oc，使oa＝oc；在p上擷取線段ob與od，使ob＝od；鏈結ab、bc、cd、da，構成乙個平行四邊形，如圖20.3.
1－2所示，再用直尺測量ab、bc、cd、da的長度。如果我們的作圖是準確的，我們將會發現，這四邊是相等的。
由此可以得到判定菱形的一種方法：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
教師要求學生自己用推理的方法證明這個結論，學生證明後教師在黑板上給出證明過程。（見課本第114頁）
已知：如圖20.3.1－3，平行四邊形abcd中，對角線ac、bd互相垂直。
求證：四邊形abcd是菱形。
證明見課本第114頁。
（二）應用例項（課本第114頁）
教師提出問題：如圖20.3.1－4，已知矩形abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於點e、f，求證：四邊形afce是菱形。
教師分析證明思路：要證明四邊形afce是菱形，由已知條件可知，ef⊥ac，所以只需證明四邊形afce是平行四邊形，由於ef垂直平分ac，所以只需證oe＝of。
教師要求學生自己證明，學生自己證明後，教師給出證明過程。（見課本第114頁）。
（三）應用例項（補充）
如圖20.3.1－5，△abc中，ab＝ac，ad是角平分線，e為ad延長線上一點，cf∥be交ad於f，連線bf、ce，求證：四邊形becf是菱形。
分析：從已知條件可知四邊形becf的對角線互相垂直，所以只要再證明它是乙個平行四邊形即可。已知cf∥be，所以只要證明cf＝be即可。
利用等腰三角形頂角平分線的性質（三線合一）很容易證明△bde≌△cdf，從而推得be＝cf。全等的證明步驟簡述如下：
∵△abc中，ab＝ac，ad是角平分線，
∴ad⊥bc，bd＝cd（三線合一）
∵be∥cf，
∴∠fcd＝∠ebd，
∴△bde≌△cdf
（詳細證明由學生自己完成）
三、隨堂練習
課本第116頁練習第2題。
四、課時總結
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
五、布置作業
1、課本第116頁習題20.3第1、2題。
2、選用課時作業優化設計。
六、板書設計
黑板分為左、中、右三部分，中間與右邊用於教師板書課本例題等，寫滿後擦去更新，左邊用於板書以下內容：
菱形的對角線互相垂直。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
第一課時作業優化設計
1、菱形是軸對稱圖形，對稱軸有（ ）
a、1條 b、2條 c、3條 d、4條
2、在菱形abcd中，ae⊥bc於e，af⊥cd於f，且e、f分別是bc、cd的中點，那麼∠eaf等於
a、75b、55c、45° d、60°
3、菱形的對角線並且
4、菱形的較短的對角線長為4，兩鄰角的比為1∶2，則菱形的面積為另一條對角線的長為
5、（2005·貴陽）如圖1，在△abc中，ab＝bc，d、e、f分別是ac、ab邊上的中點。
（1）求證：四邊形bdef是菱形；
（2）若ab＝12cm，求菱形bdef的周長。
6、如圖2，在菱形abcd中，e是ab的中點，且de⊥ab，ab＝a，求：（1）∠abc的度數；（2）對角線ac的長；（3）菱形abcd的面積。
第二課時四條邊都相等的四邊形
教學過程
一、複習引入
教師講解：上一節課我們證明了菱形的乙個判定定理：對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形；或者說對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。這節課我們將從邊的關係來**菱形的判定定理。
二、**新知
（一）菱形判定定理2
教師講解：我們已經知道「菱形的四條邊都相等」。此定理的逆命題是：四條邊都相等的四邊形是菱形。如果我們能證明這個命題是真命題，那麼它就成了乙個定理。
教師要求學生先畫四條邊都相等的四邊形，然後測量它的對角線的夾角，驗證一下我們的結論是否成立，即夾角是否是90度。然後要求學生給出證明方法。
學生證明後教師給出證明過程。
已知：如圖20.3.2－1，四邊形abcd中，ab＝bc＝cd＝da。
求證：四邊形abcd是菱形。
證明：∵ab＝cd，bc＝da，
∴四邊形abcd是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
又∵ab＝ad，
∴四邊形abcd是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）
於是我們有判定定理2：四條邊都相等的四邊形是菱形。
教師提問：這裡的條件能否再減少一些呢？能否類似對矩形的討論那樣，有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢？猜猜，並試著畫一畫，你就會知道，這個結論是不成立的。
學生**後教師畫出圖形（見圖20.3.2－2）作為反例。
（二）判定定理3
教師講解：我們已經知道「菱形的每條對角線平分一組對角」，此定理的逆命題是：每條對角線都平分一組對角的四邊形是菱形。如果我們能證明命題是真命題，那麼它就成了乙個判定定理。
教師要求學生先畫出每條對角線都平分一組對角的四邊形，然後測量它的四條邊是否都相等，驗證一下我們的結論是否成立，然後要求學生給出證明方法。
學生證明後教師給出證明過程。
已知：如圖20.3.2－3，四邊形abcd中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8。
求證：四邊形abcd是菱形。
證明：△abc和△adc中，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，ac＝ac，
∴△abc≌△adc（
∴ab＝ad，bc＝cd（全等三角形的對應邊相等）
△abd和△cbd中，∵∠5＝∠6，∠7＝∠8，bd＝bd，
∴△abd≌△cbd（
∴ab＝bc，ad＝cd（全等三角形的對應邊相等）
∴ab＝bc＝ad＝cd
∴四邊形abcd是菱形。
（三）應用例項
已知：如圖20.3.2－4，△abc中，∠acb＝90°，be平分∠abc，cd⊥ab於d，eh⊥ab於h，cd交be於f。
求證：四邊形cehf為菱形。
教師分析：①先證△ebc≌△ebh，推得ce＝eh，易證cf∥eh，故有四邊形ecfh是平行四邊形。②再證ce＝cf。
教師證明並板書：
∵cd⊥ab於d，eh⊥ab於h，∴cf∥eh且∠ehb＝90°。
又∵∠acb＝90°，eb＝eb，∠ebc＝∠ebh，∴△ebc≌△ebh。∴ce＝eh。∴四邊形ecfh是平行四邊形。
在rt△bce中，∠cbe＋∠ceb＝90°，在rt△bdf中，∠dbf＋∠dfb＝90°，因為∠cbe＝∠dbf，∠cfe＝dfb，所以∠ceb＝∠cfe，所以ce＝cf。所以四邊形cehf為菱形。
由此，我們還可以得到判定菱形的方法：每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。
三、隨堂練習
1、在中，∠a的平分線與bc邊相交於點e，∠b的平分線與ad邊相交於點f。求證：四邊形abef是菱形。
2、作菱形abcd，使ac＝5cm，∠bad＝60°。
四、課時總結
菱形常用的判定方法歸納為（讓學生討論歸納後，由教師小結並板書）：
是菱形注意：2與4的題設也是從四邊形出發，和矩形一樣它們的題設條件都包含有平行四邊形的判定條件。如方法4，根據對角線互相平分，就可以首先判定四邊形是平行四邊形，這樣，判定方法4就和判定方法3等同了。
五、布置作業
1、課本第116頁習題20.3第3題。
2、選用課時作業優化設計。
六、板書設計
黑板分為左、中、右三部分，中間與右邊用於教師板書課本例題等，寫滿後擦去更新，左邊用於板書以下內容：
是菱形第二課時作業優化設計
1、下列圖形中，不一定為菱形的是（ ）
a、兩對角線互相垂直平分的四邊形
b、有一條對角線平分乙個內角的平行四邊形
c、四條邊都相等的四邊形
d、用兩個全等的等邊三角形拼成的圖形
2、如圖1，在菱形abcd中，ae⊥bc，af⊥cd，e、f為垂足，且e、f又分別是bc、cd的中點，則∠eaf的度數為（ ）
a、75° b、60c、45d、30°
4 2菱形 1 教案
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