第一節綜合相量和座標變換
3-1-1三相電磁量的綜合相量
對於三相系統，一般多用單參考軸三相量法表示三相電磁量。這裡，介紹表示三相電磁量的三參考軸單相量法。
圖3-1中的a、b、c三相座標是固定在發電機定子(電樞)空間的座標系統，這是三參考軸。排列順序為，逆時針方向b相超前a相，c相有超前b相。需要說明，與其對應，逆時針方向也作為發電子轉子旋轉的正方向。
圖3-1 三相電磁量的綜合相量
如某瞬間，三相繞組的電流瞬時值為、、，而其代數和為零(無零序電流)，即
如在三相軸線上用有向線段表示這三個電流(參閱圖3-1)，則在這一座標平面上存在一電流相量
它的端點在三相繞組軸線上的投影為、、。相量與三相電流、、間的關係為：
眾所周知，如三相電流是一組隨時間正弦變化的正序電流，則其電流綜合相量的端點在上述空間隨時間移動的軌跡為乙個圓，其旋轉方向為逆時針方向；如三相電流是一組負序電流，則其電流綜合相量的端點隨時間移動的軌跡也是乙個圓，但其旋轉方向為順時針方向。一般講，有一組隨時間連續變化的三相電流，它滿足，即無零序電流，其綜合相量端點在圖3-1所示a、b、c三相座標平面上移動的軌跡也是連續的。
這說明三相電流可以用乙個相量表示。
零序量不能用綜合相量表示，這是綜合相量不足之處，零序量的存在只能在數學模型中反應。
綜合相量與三相電流的關係，還可以用下式表示
式中，運算元。
3-1-2三相電磁量綜合相量的分解和合成
總所周知，相量可以分解和合成，它反映了三相電磁量瞬時值的分解和合成。
圖3-2 電流綜合相量的分解和合成
圖3-2為電流綜合相量的分解和合成。圖中相量為相量和的相量和，用公式表示
上式相當於
即一組三相電流、、分解為兩組三相電流、、和、、。
圖3-3 座標系統之間的關係
如果相量和以發電機的轉速運動，它就是d、q、0座標系統。如果相量和固定在定子上的直角座標系統，它就是、、0座標系統。如果相量和以發電機的額定轉速運動，它就是x、y、0座標系統。
圖3-3所示。
d、q、0和、、0座標系統與a、b、c座標系統之間的關係
式中，式中，和分別為派克(park)變換矩陣和克拉克(clarke)變換矩陣，、是他們的逆變換矩陣。
變換矩陣中的為轉子d軸與定子a軸間的角度,變換是時的變換。
d、q、0和、、0座標系統與x、y、0座標系統之間的關係
其中式中，為x對軸的角度，為q軸對x軸的角度。
3-1-3網路元件的數學模型
1．電阻-電感串聯支路的數學模型
圖3-4 電阻-電感串聯支路
如3-4為三相r-l串聯支路。r為各相輸電線的電阻，l為每相輸電線的電感，m為各相輸電線相間的互感。設輸電線三相對稱，用a、b、c座標表示，則該輸電線的數學模型為
式中：為始端三相電壓列向量；為末端電壓列向量，為三相電流列向量，r為輸電線電阻對角陣；為輸電線電感係數矩陣。
在電力系統動態**中，對輸電網路用、0座標比較合理。用、0座標表示，則該輸電線的數學模型為
其中，，
，式中：為始端三相電壓列向量；為末端電壓列向量，為三相電流列向量，r為輸電線電阻對角陣；為輸電線電感係數矩陣。此外，和分別為輸電線的正序和零序電感。
對於代表恆定阻抗負荷的r-l對地支路，令末端電壓為零即可。就是說，當用a、b、c座標時，其數學模型為
如三相負荷阻抗間無互感，則中的互感系數m為零。當用、0座標時，其數學模型為
且有2．串聯電容支路的數學模型
圖3-5 串聯電容支路
當用a、b、c座標時，在圖3-5中所示三相對稱串聯電容支路的數學模型為
式中，其他符號含義同前。
當用、0座標時，圖3-5所示三相對稱電容支路的數學模型為
3．併聯電容支路的數學模型
通常將輸電線電容分為線間電容和對地電容，如圖3-6所示。
圖3-6 併聯電容支路
當用a、b、c座標時，輸電線對地電容支路的數學模型為
式中和為併聯電容前後輸電線三相電流列向量，為併聯電容的三相電壓列向量；為電容矩陣。
當用、0座標時，輸電線對地電容支路的數學模型為
式中和為併聯電容前後輸電線三相電流列向量，為併聯電容的三相電壓列向量；為電容對角陣。
3-1-4電源的數學模型
對於無限大功率電源，a、b、c座標時有
、0座標時有
d、q、0座標時有
第二節簡單三相對稱電路的數字**
圖3-7是由無限大功率電源和三相對稱的電阻、電感元件組成的簡單電路。本節對圖中k點發生三相短路的情況進行解析分析和**計算。
圖3-7 無限大功率電源供電系統的三相短路分析
3-2-1解析分析
無限大功率電源是內阻抗為零的三相對稱爭先交流電壓源，其a、b、c三相電壓的表示式為：
式中：分別為電壓的幅值、角頻率和初相位角，均為標麼值。
三相短路後整個電路被分割成兩個獨立的部分。圖3-1中的左半部分在電源的作用下三相電流將逐漸過渡到正弦穩態值，右半部分沒有電源，其三相電流將逐漸衰減至零。這裡僅討論左半部分的暫態過程。
電阻r、電感l支路的動態過程可由下列微分方程組描述
式中 l、r——三相電路電感和電阻的標麼值；
——a、b、c三相電流的標麼值；
假定短路前電路處於穩態，三相電流的表示式為：
式中：為短路前三相穩態電流的幅值； 為短路前穩態電流的相位角。
三相電流初始值為
三相短路後三相電路仍是對稱的，而且a、b、c三相之間無耦合，所以各相的微分方程彼此獨立，可以分別單獨求解。以a相為例，其微分方程為常係數線性非齊次微分方程
根據高等數學的有關知識可知，其解為齊次方程的通解與方程式的任意乙個特解之和。通解為
式中c為待定係數，與電流的初始值有關。
短路達到穩態後，的表示式可作為的乙個特解。其表示式為：
式中：和分別為短路後達到穩態時電流的幅值和相角。
因此，方程式(3-1)的解為
將代入上式，可求出待定常數c，
再將c代入式(3-2)即得短路後a相全電流的表示式。用同樣的方法可求出b相和c相的電流。
以上推導過程在數學上是嚴格的，未作任何簡化和近似。因此式(3-3)是圖3-7所示電路三相短路後三相電流的精確描述，這一結果可用來校核數字**結果精度。
3-2-2**計算
圖3-7所示電路短路後的暫態過程由式(3-1)所示微分方程描述。因此，短路暫態過程的數字**便歸結為這一微分方程組的數值求解。仍以a相為例進行分析。
首先用隱式梯形法則將微分方程差分化，轉化為代數方程以便求解。
差分化的規則為：
1)帶有微分運算元的變數px以代入；
2)不含微分運算元的變數x以代入；
3)常數項和常係數保持不變。
a相電路微分方程的差分形式為：
在計算過程中， 時刻的變數和已知，同時由於是無限大功率電源的電壓，故也已知。將上式整理後，得到t時刻和的表示式為：
用同樣的方法可以求出b、c相電流的表示式。三相電流表示式綜合如下：
根據上式可逐點計算三相電流在各個時刻的數值。其步驟為：
1)給定原始資料r、l、、、等；
2)計算三相電流的初值；
3)設定步長和最大**時間，計算；
4)計算，，；
5)計算三相電壓，計算t時刻的電流；
6)，將時間t推進乙個步長，重複4)，直至。
當用、0座標時，有
初始值為
遞推公式
步驟與a、b、c座標時類似。
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